Fishburn数与Fishburn结构的研究

The Fishburn numbers are one of the most important integer sequences in enumerative combinatorics. The combinatorial objects which are counted by Fishburn numbers are called Fishburn structures. With the discovery of more and more Fishburn structures in posets, matrices, matchings, permutations, combinatorial sequences and set partitions, this area of research has attracted considerable attentions of many celebrated mathematicians. It turns out that the Fishburn structures have important applications in graph theory, probability theory, the theory of integer partitions and so on. This project focus on some problems and conjectures on Fishburn numbers and Fishburn structures: (1) We will be concerned with pattern avoiding permutations as well as ascent sequences and find natural ways to encode them into Fishburn triples. (2) We will study the symmetric distribution of certain statistics of Fishburn structures and construct bijections between Fishburn structures which preserve certain statistics, confirming several conjectures of Jelínek et, al. (3) We will consider the congruence properties of Fishburn numbers and find combinatorial explanations for them. The study of this project will help to strengthen the connections between Fishburn structures and other combinatorial objects, enabling more applications of Fishburn structures in other areas.

Fishburn数是组合数学中一个重要数列，由它计数的组合结构被称为Fishburn结构。随着Fishburn结构在偏序集、矩阵、匹配、排列、组合序列、集合划分等重要结构中被陆续发现，这方面的研究引起了许多著名数学家的广泛关注。研究表明，Fishburn结构在图论、概率论、整数分拆理论等领域中都有着重要应用。本项目旨在研究Fishburn数和Fishburn结构上的一些问题与猜想：（1）寻找避免特定模式的排列和上升序列的Fishburn三元组解释；（2）研究Fishburn结构中各类统计量的对称分布，构建满足一定条件的Fishburn结构之间的双射，从而解决Jelínek等人关于该方面的若干猜想；（3）研究Fishburn数的同余性质，并给出相关的组合解释。本项目的开展有利于加强Fishburn结构与其他组合结构之间的联系，为它在其他领域的应用提供更多的依据。

Fishburn数是一个重要的组合数列，由Fishburn数计数的组合结构被称为Fishburn结构。1970年，Fishburn引入了第一个Fishburn结构：区间偏序集，并系统地研究了区间偏序集的统计量和计数问题，建立起它与图论、概率论等其他领域之间的密切联系，为Fishburn结构的研究奠定了基础。继Fishburn的研究工作之后，许多看似无关的Fishburn结构相继被发现，包括Fishburn矩阵，Stoimenow匹配，上升序列和避免特定模式的排列等。事实表明，Fishburn结构还与Dyck路、整数分拆、集合划分等密切相关。随着越来越多的Fishburn结构被发现，寻找各Fishburn结构之间更自然的双射或满足一定条件的双射成为非常活跃的研究方向。另一方面，组合结构统计量的研究一直是组合数学的一个重要研究课题，组合学家在寻找新的Fishburn结构，完善各Fishburn结构内在联系的同时，也在不断研究Fishburn结构的统计量。本项目旨在研究Fishburn结构之间的联系和Fishburn结构的统计量分布问题，得到一些创新性的结果：（1）对上升序列进行分解，得到了上升序列关于4个统计量的生成函数，该结果推广了Kitaev和Remmel关于统计量zero在上升序列上的生成函数的结论，证明并推广了Dukes和Parviainen关于统计量rep和max同分布的猜想。（2）得到了两个新的Fishburn结构，且建立起它们与上升序列之间的双射。并由此得到一个上升序列到自身的一个双射，证明了(asc,rep)在上升序列上是对称分布的，且(asc,zero)和(rep,max)在上升序列上是等分布的。该工作上推广了Jelínek关于上升序列的一些结论。（3）证明了统计量(rep,max)在上升序列和避免（2-1）模式的逆序表上是同分布的，从而说明rep在避免（2-1）模式的逆序表上是一个欧拉统计量，证明了Levande的一个猜想。