基于Banach空间几何的最佳逼近相关问题研究

The geometric theory of Banach space is an important foundation for the abstract approximation theory. In particular, many kinds of convexity and smoothness of Banach spaces have important applications in the problems of the best approximation, such as the proximinality, the continuity of the metric projection and the well-posedness. However, geometric theory of Banach space and best approximation problems belong to different areas, which has made some new and weak convexities and smoothnesses and their applications in the best approximation somewhat disjointed. This project focuses on the applications of the geometric theory of Banach space in the best approximation problem, and we mainly study the following four problems. We will first implement profound research on some new and weak convexity and smoothness in Banach space, and investigate their applications in the problems of the best approximation, such as the proximinality, the continuity of the metric projection. Secondly, by making use of Minkowski Functionals generated by bounded closed convex subsets, we will generalize some geometric properties and apply them to the study of generalized best approximation problem. Third, we will research the well posedness of the best approximation problem, especially, in the sence of weak topology. Finally, we will research the well posedness of the mutually best approximation problem, especially in the sence of weak topology. The solutions of the above problems can not only enrich the content of the geometric theory of Banach space and the the abstract approximation theory, but also lay a solid theoretical foundation for the function approximation theory.

Banach空间几何理论是抽象逼近论的重要基础,特别是各种凸性与光滑性在最佳逼近问题中的近迫性、度量投影连续性及适定性等问题中有重要应用。但由于空间几何理论与最佳逼近问题分属不同领域，使得一些新或弱的凸性和光滑性等几何性质与最佳逼近问题的联系有些脱节。本项目围绕空间几何理论在最佳逼近相关问题中的应用,主要研究四个方面问题。首先，对一些新和弱凸性与光滑性予以深刻的研究，并研究它们在各种近迫性、度量投影连续性等最佳逼近问题中的应用；其次，利用有界闭凸集生成的Minkowski泛函,推广一些几何性质,并研究它们在推广的最佳逼近问题中的应用；第三，研究最佳逼近问题的适定性,特别是弱拓扑意义下的最佳逼近问题的适定性；第四，研究共同最佳逼近问题的适定性,特别是弱拓扑意义下的共同最佳逼近问题的适定性。以上问题的解决，不仅可丰富Banach空间几何和抽象逼近论的内容，而且可为函数逼近论奠定更扎实的理论基础

本项目主要研究Banach空间理论及其在最佳逼近问题中的应用。主要成果如下:.（1）给出了Banach空间近强凸性和近严格凸点的刻画；利用弱中点局部k一致凸和中点局部k一致凸，给出Banach空间单位球是逼近紧和弱紧的K-Chebyshev集的特征；并且利用Banach空间近强凸等性质，建立了强Chebyshev集、逼近紧的Chebyshev集、逼近紧集、强近迫集和近迫集彼此的等价关系。.（2）利用有界闭凸集生成的Minkowski泛函引入了集合的一些凸性和光滑性等几何性质，给出了推广度量投影解析表达式，并证明了推广度量投影连续性的一系列结论。 .（3）引入了最佳逼近问题的弱适定性概念，建立最佳逼近问题的弱适定性“量”的Baire纲结果。给出了相对有界弱紧的弱闭集是几乎Chebyshev集的两个充分条件。.（4）引入了共同最佳逼近问题的弱适定性概念，建立共同最佳逼近问题的弱适定性“量”的Baire纲结果。.（5）建立Banach空间理论中等距算子的线性化的、扰动等距映射的一致逼近、凸子集构成的Hausdorff度量空间的等距映射的表示等一些重要结论。.（6）应邀在《数学进展》发表论文，从Banach空间几何学在最佳逼近应用的视角，对最佳逼近元的存在性、几乎存在性、最佳逼近问题的适定性及度量投影的连续性四方面问题的研究进展作了系统综述，并且提出了若开问题。. 以上部分成果解决由知名学者Giles等提出一个开问题，解决了由保加利亚科学院院士Troyananski等关注的一个重要问题。部分成果获得了2019年上海市自然科学三等奖。