部分耗散MHD方程及相关数学模型的定性研究

This project is devoted to the study on the global well-posedness and optimal decay estimates of the 2D MHD equations and related mathematical models with partial dissipation. More precisely, by applying the maximal regularity of 1D heat kernel operator, we will investigate the global existence of strong solution for the 2D MHD with partial dissipation. We examine the optimal decay estimates of the MHD equations employing the decay properties of the 1D heat kernel and the 2D fractional heat kernel. We also study the global well-posedness of the 2D micropolar equations with the subcritical dissipation through introducing some new quantities and combining commutator estimates and energy methods. We finally examine the global well-posedness for the fractional dissipative tropical climate model by exploring the bounds of both the divergence form and the vorticity form for the first baroclinic mode of the velocity. This project is beneficial for understanding the motion of the complex anisotropic viscous incompressible fluid.

本项目致力于研究具部分耗散效应的二维MHD方程及其相关数学模型的整体适定性和时间衰减估计。具体来说，我们将利用一维热核算子的最大正则性来研究二维部分耗散MHD方程强解的整体存在性，利用一维热核和二维分数次热核的衰减估计来建立该MHD方程解的最优衰减率。通过引入新的变量并结合交换子估计与能量方法来研究二维次临界耗散微极流方程光滑解的整体适定性。通过分别刻画第一斜压大气模式速度的散度形式和旋度形式的有界性来研究分数耗散热带气候模型光滑解的整体适定性。本项目的研究有利于人们进一步理解一些复杂的各向异性粘性不可压缩流体的运动。

部分耗散机制下流体运动的数学理论一直是非线性科学中最重要的前沿课题之一，本项目利用现代偏微分方程理论研究了二维线性速度阻尼的MHD方程解的最优衰减性，得到了水平耗散Navier-Stokes方程的稳定性；刻画了二维水平耗散Boussinesq方程稳定解的存在性和衰减性，证明了粘性依赖于温度的Boussinesq方程大初值整体光滑解;深入刻画了不同耗散机制下二维热带气候模型的整体适定性。本项目的研究不仅对发展非线性偏微分方程理论具有重要的意义，同时对于人们进一步深入理解大气和海洋科学具有重要的理论价值。