Hall-MHD方程组解的定性研究

This project will study Cauchy problem、initial-boundary value problem and free boundary problem of 2D and 3D Hall-MHD equations. When the viscous coefficients and magnetic coefficient are constants, we will study blow-up criterion，global existence and long-time decay behavior of Cauchy problem's solutions to Hall-MHD equations; we will study the relationship between the solutions of the Hall-MHD equations and the solutions of the MHD equations when the Hall term vanishes; the vanishing limit of viscosity and the problem of zero magnetic diffusion of Cauchy problem to 3D compressible Hall-MHD equations; We also will study the existence of local smooth solutions, global solutions(strong and smooth) and long-time decay behavior of the solutions to initial boundary value problem and the existence of global solutions(strong and smooth) to free boundary problem of 2D and 3D compressible Hall-MHD equations. When the viscous coefficients and magnetic coefficient are all or partly exponential function of density, we will study the existence of global solutions(strong and smooth), the limit of solutions if the Hall term vanishes, the existence of the solutions to initial-boundary value problem and free boundary problem of 2D and 3D compressible Hall-MHD equations under certain exponent conditions.

本项目主要研究二维和三维Hall-MHD方程组的Cauchy问题、初边值问题、自由边界问题。当粘性系数和磁场系数为常数时，我们研究Hall-MHD方程组Cauchy问题解的爆破准则、整体解的存在性和长时间衰减性质；三维可压Hall-MHD方程组Cauchy问题当Hall项消失时，Hall-MHD方程组的解与MHD方程组解的关系；粘性消失极限和零磁扩散问题；二维和三维可压Hall-MHD方程组初边值问题的局部光滑解的存在性、整体强解和整体光滑解的存在性以及解的长时间衰减性质；二维和三维可压自由边界问题的整体强解和整体光滑解的存在性；当粘性系数和磁场系数部分或者全部为密度的指数函数时，其中的指数满足一定条件时，研究二维和三维可压Hall-MHD方程组整体强解和整体光滑解的存在性、Hall项消失极限、初边值问题和自由边界问题解的存在性。

在本项目中，我们主要研究了流体力学方程组解的存在唯一性以及长时间性质。主要的研究结果有：. （1）三维可压缩带温度方程的Hall-MHD方程组Cauchy问题在初始小性条件以及一定的有界性条件下经典解的存在唯一性、解的最优衰减速率，粘性消失极限。三维可压缩带温度方程平面上的Hall-MHD方程组柯西问题在一定的有界性条件下强解的存在唯一性，值得一提的是这里不需要初值的小性条件。. （2）带有大的非平凡掺杂分布、允许大扰动、含真空三维可压缩Navier-Stokes-Poisson方程组Cauchy问题初始小能量下整体强解的存在唯一性。得到的主要的研究结果为等熵和非等熵两种情形下的解的存在唯一性结果。. （3）带有大外力、允许大扰动、含真空三维可压缩Navier-Stokes方程组柯西问题初始小能量下整体弱解的存在性和长时间性质。. 上面的研究结果克服了真空、强耦合性、大掺杂分布以及大外力带来的困难，所得到的的研究成果具有一定的理论意义，一定程度上填补了流体力学方程组的研究空白。