可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程大解的适定性及磁耗散消失极限研究

The compressible Navier-Stokes and MHD equations are classical physical models in fluid mechanics and magnetohydrodynamics，respectively, which are valuable both in mathematical theory and applications. The project mainly apply the tools of energy estimates, the classical elliptic and parabolic theory, particle trajectory, compactness arguments and the weak convergence method to study the following three problems: .(1) Global well-posedness of strong solutions to the Cauchy problem of 1D full compressible Navier-Stokes equations with temperature-dependent heat conductivity. .(2) Global well-posedness and the vanishing resistivity limit of the strong solutions to the Cauchy problem of 1D isentropic compressible MHD equations wtih density-dependent viscosity and zero-resistivity. .(3) The vanishing resistivity limit and the magnetic boundary-layers for 1D full compressible MHD equations with temperature-dependent heat conductivity in a bounded domain..The investigation of this project will enrich the well-posedness theory of the strong solutions to 1D compressible Navier-Stokes and MHD equations, deepen the understanding of the vanishing viscosity limit of the fluid system and also provide the theory support for the further study on the global well-posedness of the large solutions to the multi-dimensional compressible Navier-Stokes and MHD equations.

可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程分别是流体力学和磁流体力学中的基本方程，具有重要的理论价值和应用背景。本项目拟采用能量方法、椭圆抛物方程理论、粒子轨道技术、紧性论证及弱收敛等方法，研究以下三类问题：.（1）一维热传导系数依赖温度的完整可压缩Navier-Stokes方程柯西问题强解的整体适定性。.（2）一维粘性依赖密度的等熵MHD方程无磁耗散时柯西问题强解的整体适定性及磁耗散（电阻率）消失极限。.（3）一维热传导系数依赖温度的完整MHD方程在有界区域中磁耗散（电阻率）消失极限及对磁场边界层的研究。. 通过本项目的实施，可以进一步完善一维可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程大解的整体适定性结果，加深对流体方程粘性消失极限问题的理解和认识，为将来解决高维可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程大初值解的整体适定性问题提供理论支撑。

本项目主要研究现代物理学中所出现的一些重要的流体动力学方程，如可压缩Navier-Stokes方程、可压缩MHD（磁流体）方程等，这些非线性偏微分方程不仅具有鲜明的物理背景，同时也是数学家们所关心的热点和难点问题。我们拟采用能量估计、紧性论证和方程的结构，针对以上两类方程，围绕以下几个方面展开相关研究：（1）利用“熵”和“质量”，我们研究了一维完整可压缩Navier-Stokes方程和等熵Navier-Stokes方程自由界面的扩张速率；（2）利用Lagrange变换和方程的结构，我们研究了一维热传导系数依赖温度的可压缩Navier-Stokes方程自由边值问题强解的整体存在性；（3）利用不可压缩Navier-Stokes方程弱解局部能量不等式的技巧，我们研究了三维完整可压缩Navier-Stokes方程当温度Scaling不变下的爆破准则；（4）利用空间加权的技巧，我们研究了一维等熵MHD方程当无穷远处含真空时柯西问题强解的整体存在性；（5）利用空间加权、有效粘性通量和物质导数的技巧，我们研究了一维不含磁耗散的等熵MHD方程在无穷远处含真空时柯西问题强解的整体存在性；（6）利用动量的高低频分解的技巧，我们研究了一维等熵MHD方程在无穷远处不含真空时柯西问题强解的整体存在性以及当磁耗散系数趋于零时的消失极限问题。通过本项目的实施，我们对这些方程的结构和性质有了更全面的了解和更深层次的认识，提高了我们的数学研究水平。