转置及其在相对同调中的应用

The transpose was originally introduced by Auslander and Bridger in 1960s. It has many important applications in homological algebra and algebraic representation theory. The relative transpose is a generalization of the Auslander-Bridger transpose. In this project, first we will discuss the properties of the relative transpose with respect to different categories. Second,we will give the definitions of relative transpose functors and relative cotranspose functors and study their homological properties. At the same time,we will use the theory of transpose functors to study the the functor category, especially the homological dimension theory of the functor category. Third, we will use the concept of relative transposes to study the theory of rings and modules. Linked to the equivalence of categories, the theory of relative transposes will be used to study the approximation theory and the homological dimensions of modules. The characterizations of rings and modules will be given. Finally,we will explore new ideas and new methods for the existence of almost split sequences.

转置是Auslander和Bridger在20世纪60年代引入的，在同调代数以及代数表示论中有很多重要的应用。相对转置作为Auslander-Bridger转置的推广，在本项目中，我们将讨论对于不同范畴相对转置的性质。其次定义相对转置函子与相对余转置函子并研究相应的同调性质。同时用相对转置函子研究函子范畴，特别是函子范畴的同调维数问题。第三，将相对转置与相对转置函子应用于环与模理论的研究。将相对转置的概念与范畴等价联系在一起，研究模的逼近理论与同调维数，进一步给出环与模的刻画。最后，探索几乎可裂序列的存在性这一问题的新思路和新方法。

转置是Auslander-和Bridger在上世纪60年代引入的，在同调代数和代数表示论中有很多重要的应用。利用转置的概念，Auslander和Bridger定义了Gorenstein维数为零的模。作为Gorenstein维数为零的模的推广，Enochs和Jenda在任意环上定义了Gorenstein投射模，并且进一步定义了Gorenstein内射模和Gorenstein平坦模。同时，Gorenstein代数是经典的投射模，内射模，平坦模的推广，是同调代数和代数表示论的重要研究对象。.为了进一步研究转置在三角范畴中的推广，申请人和合作者撰写了专著系统阐述了三角范畴，n角范畴与K0群的内在联系，以及三角范畴的相对同调理论。在书中首次介绍了三角范畴中的K0群，建立了三角范畴稠密严格满子范畴与K0群子群之间的一一对应。同时介绍了n角范畴，提出了n角范畴中的几个问题。.设环S包含于环R且具有相同的单位元。若S作为R模是有限生成投射模，并且Hom(S,R)同构于S，则称S是R的Frobenius扩张。申请人和合作者定义了拟Frobenius扩张和强分离拟Frobenius扩张，研究了由一个Frobenius双模联系下的环与模的Gorenstein同调性质。特别的，设S是R的强分离拟Frobenius扩张，环S和R的左Gorenstein整体维数和左有限Gorenstein投射维数相等。更进一步的，R是左Gorenstein（Cohen-Macaulay有限, Cohen-Macaulay自由）当且仅当S为左Gorenstein（Cohen-Macaulay有限，Cohen-Macaulay自由）。