3维反转系统中的异维环分支研究

异维环是一类很常见而又重要的异宿环，在研究Kuramoto-Sivashinsky偏微分系统时导出的3维反转Michelson系统即具有异维环。具备反转性质的微分系统也很常见。异维环的存在意味着系统蕴含着极端复杂的动力学行为，因此关于异维环分支研究结果并不多见。本项目首次研究通有3维反转微分系统的异维环的分支问题，该系统的线性对合的不动点集可以分为两种情形。在此运用由朱德明与夏志宏教授于1998年建立的活动标架法来研究该异维环分支。当线性对合的不动点集为一维直线时，我们已经得到了丰富的分支现象：异维环可分支出同宿轨线、也可以同时分支出周期轨线和同宿环、亦可分支出周期轨线、得到的周期轨线可再分支出两条周期轨线等；而当线性对合的不变集为2维平面时，沿异维环的变分方程的基解矩阵在奇点邻域内横截面上的初值约束关系较少，分支方程增多，分支现象更复杂。系统可同时分支出周期轨线和异宿环等分支现象。

异维环的存在往往意味着动力系统具有极端复杂的动力学行为。而异维环又是一类常见而又重要的高维系统中的奇异环。本项目完整地研究了三维反转系统中具有2个鞍点的对称异维环分支问题。反转性是指系统存在线性对合R，使得系统在R变换和时间逆向条件下仍保持不变。 当R的不动点构成集合的维数dim Fix(R)=1时, 三维反转系统的不变流形可以具备或不具备有强倾斜性质。我们对这些子情况都有完整研究。我们得到了R-对称异维环、R-对称周期轨线、同宿环、重周期轨线和具有单参数族的无穷条周期轨线的存在性及它们共存性。同时我们还明确得到了对称异维环的重同宿分支。进一步，我们也证明了相应的分支曲面及其存在区域。对于dim Fix(R)=2时的情形，我们也得到了系统可分支出R-周期轨道和R-对称异宿环。运用系统扰动方法，我们研究了一些高维近保积映射的渐近稳定性问题。我们先得到一个更为一般的高阶非线性差分系统的收敛性定理，在此基础上得到了一些高阶非线性系统的平衡点或2周期解的渐近稳定性结果。