翻转高余维异维环分支

异维环分支的研究对动力系统结构稳定性理论的发展有非常重要的影响。然而，由于异维环的连接轨道的余维数是非均匀分布的，甚至是集中分布的，由此导致了异维环分支问题研究有很大难度。对于非通有异维环，共振、轨道翻转和倾斜翻转的出现更增加了余维数，从而问题也更为复杂。本项目在对同宿环，双同宿环以及带有轨道翻转的异维环分支研究的基础上，通过对规范型和局部活动坐标架方法的改进，对发生翻转的高余维非通有异维环进行系统的研究，从而揭示异维环发生翻转时动力学行为的复杂性。同时，我们分别构造含有异维环的系统，使得该系统中的异维环可以发生轨道翻转或倾斜翻转，同时给出具体的分支结果。

本项目研究了几类余维3的高维异维环分支。包括：带有轨道翻转和弱型轨道翻转的异维环分支及带有弱型倾斜翻转的异维环分支。对带有轨道翻转和弱型轨道翻转的异维环分支，给出了同宿轨，异宿轨和周期轨的存在性条件及分支出的周期轨和同宿轨的共存性条件。同时，建立了二重和三重周期轨的分支曲面。构造了满足退化条件的异维环的解析例子。对带有弱倾斜翻转的异维环分支，给出了异维环，1-同宿轨，1-周期轨和两重和三重周期轨的存在性条件。研究了高维空间中两类余维4的高维异维环分支，包括：发生倾斜翻转和轨道翻转的余维4异维环分支（倾斜翻转和轨道翻转集中在同一连接奇点）和两轨道翻转余维4异维环分支（两轨道翻转集中在同一连接奇点）。通过构造线性变分方程的基础解矩阵建立活动坐标架，在新的活动坐标架下计算后继函数，从而得到poincare回归映射，进而得到了退化且不对称的余维4异维环分支方程。分支分析得到了异维环，周期轨，同宿轨的分支曲面方程，周期轨与异宿轨的共存性，以及周期轨的存在区域。利用活动坐标架理论与参数吹胀相结合的办法，借助归纳法，得到了带有弱型轨道翻转的同宿环分支周围可以产生出任意n阶的倾斜翻转同宿环分支。研究了一类线性对合不动点子空间维数为1 的异维环分支, 得到了非R 对称异维环，同宿环，单参数不可数无穷多条周期轨以及重周期轨的存在性条件。借助连接轨道的R对称性，进一步讨论了R-对称异宿环，R-对称周期轨线和R-对称重周期轨线的存在性和共存性条件。研究了3维空间中连接两个对称的双曲鞍点的对称异维环分支。根据线性对和R的不动点集合的维数，分别讨论了不动点集合维数分别为1和2两种情形下R对称轨道的存在性。此外，讨论了高维空间中连接双曲鞍点的异宿环的稳定性。对于定义在无界区域上的随机Ginzburg-Landau方程，利用尾数估计的方法给出了其随机吸引子的存在性条件。