若干分片线性问题的深入研究

本项目研究连续分片线性函数描述的下述系统问题：1）K-位分片线性函数优化及其在鲁棒估计和证券投资风险控制中的应用；2）锥分片线性动态系统的稳定性分析；3）分片线性逼近误差对非线性动态特性的影响。主要研究目标为：1）提出能够有效求解K-位分片线性优化问题的新算法；2）提出三维空间的锥分片线性动态系统的稳定性充要条件。研究工作对丰富基于分片线性逼近的非线性系统分析理论和方法有重要意义。

本项研究主要取得了以下成果。..A、.我们指出，有两类重要问题，即最小中位数平方（LMS）回归和风险值（VaR）优化，均可转换为 -位分片线性优化问题。我们对此问题给出了局部最优解的充要条件，并基于充要条件和其他性质设计了可行下降方法，可以利用线性规划技术求解上述分片线性优化问题。..B、.我们利用以前得到的一般性连续分片线性函数的广义链接超平面的表示模型，证明了一般性分片线性优化问题存在精确罚。因此，任何带有约束的分片线性优化问题均可以转化为无约束的分片线性优化问题。在此基础上进一步给出了无约束优化问题局部最优解的充要条件，并据此设计了利用线性规划算法求解无约束分片线性优化问题的下降方法。..C、.我们指出，任何连续分片线性函数均可以表示成两个凸的分片线性函数之差。利用这个事实，可以进一步把任何连续分片线性优化问题转换为凹优化问题。我们针对凹优化问题提出了一种沿等值线搜索跳出局部最优解陷阱的全局优化方法，并设计了一种我们称之为绕山法的全局优化算法。..D、.我们利用以前得到的链接超平面辨识方法和自适应链接超平面辨识方法，用分片线性模型逼近非线性离散时间动态系统的状态方程，提出了基于分片线性模型的模型预测控制方法，通过求解线性约束的二次规划问题确定系统的控制。我们给出了这类问题局部最优解的充要条件，并据此设计了实用的求解算法。..E、.我们以典型的混沌映射Logistic映射为具体对象，研究非线性动态特性在分片线性逼近下的一致性问题。我们分别用分片线性模型和光滑分片线性模型逼近Logistic映射，然后观察两个逼近系统的分岔图。我们发现，即便静态逼近误差已经很小，分片线性模型的分岔图和真实的分岔图仍然有较大差异。而光滑分片线性模型则能显示出和原系统相同的动态性质。因此光滑分片线性模型更适合用于逼近非线性动态系统。..F、.此外，我们还利用上面的结果，分别提出了极小化中位平方误差的分片线性模型的参数估计方法、鲁棒的支持向量机的训练方法以及一些分片线性函数的辨识方法。