一类可积系统的 tau 函数及相关问题

Tau function, as an important concept in the theory of integrable system, can be introduced in various ways and applied in different branches of mathematical physics. In this project, we plan to study tau functions of integrable systems including Drinfeld-Sokolov hierarchies associated to affine Kac-Moody algebras, and relevant problems on Frobenius manifolds, Gromov-Witten invariants and Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory. For these hierarchies, we also want to study the linear/nonlinear action of Virasoro symmetries on the tau functions. In particular, part of the result will be a crucial step in the proof of Dubrovin and Zhang's conjecture on ADE topological integrable hierarchies.

Tau 函数是可积系统理论的重要概念, 它有多种的定义方法并被应用于数学物理的一些不同分支. 本项目研究包括仿射 Kac-Moody 代数对应的 Drinfeld-Sokolov 方程簇在内的可积系统的 tau 函数, 以及跟 Frobenius 流形、Gromov-Witten 不变量和范辉军-Jarvis-阮勇斌-Witten 理论相关的一些问题。我们还研究这些可积系统的 Virasoro 对称在 tau 函数上的线性或非线性作用, 特别地, 其中部分结果将是证明 Dubrovin 和张友金关于 ADE 拓扑方程簇的猜测的关键一步。

Tau 函数在可积系统理论中扮演重要角色, 并与数学物理多个分支有深刻的联系。本项目研究的是包括 Drinfeld-Sokolov 方程簇在内的可积系统的 tau 函数, tau 函数被 Virasoro 对称的作用, 以及它跟 Frobenius 流形、Gromov-Witten 不变量和范辉军-Jarvis-阮勇斌-Witten (FJRW) 理论相关的一些问题。研究工作按照计划进行, 研究目标基本完成。研究成果主要以发表 SCI 论文的方式公布, 截至目前包括独立与合作共完成三篇论文, 分别发表在国际学术期刊 Adv. Math, IMRN, 和 J. Geom. Phys. 上。发表论文的结果包括: (一) 对 Drinfeld-Sokolov 方程簇，我们给出其 tau 函数的统一定义, 证明 Virasoro 对称在 tau 函数上的作用分为线性和非线性两种情况, 证明这些方程簇与 Kac-Wakimoto 双线性方程在 ADE 型和扭的情形下相等价; (二) 利用 Sato-Segal-Wilson 无穷维 Grassmannian 理论, 我们得到 Drinfeld-Sokolov 方程簇 tau 函数的等价定义, 由此得到 tau 函数的一个 Toeplitz 行列式表示公式; (三) 我们对 KP 方程簇作推广从而得到一个新的可积方程簇, 利用 R-矩阵方法写出它的 Hamilton 结构, 并进一步刻画其约化性质从而联系到 Frobenius 流形。这些结果对进一步研究可积系统的拓扑解有重要意义。