可积系统的分类及相关问题

可积系统的分类问题是非线性可积系统理论中一个重要的研究课题，这一方面的结果不仅有助于人们了解相关的非线性偏微分方程可积性的本质，而且对可积系统在数学物理不同研究领域中的应用具有重要意义。本项目将发展由B.Dubrovin和申请者提出的关于双哈密顿可积方程簇的分类方法，研究一类具有流体力学型极限以及tau结构的双哈密顿可积方程簇在Miura型变换下的分类及相关问题，并进一步研究双哈密顿结构的一类非局部推广即双Jacobi结构的几何刻画，研究其在 Miura型变换和某类改变方程簇自变量的reciprocal变换下的不变量以及具有双Jacobi结构的可积方程簇的分类；同时我们也将研究2+1维可积方程簇与由 B.Dubrovin和其合作者最近提出的无穷维 Frobenius流形这一概念之间的联系，发展无穷维 Frobenius流形理论并由此研究高维可积方程簇的分类问题。

可积系统的分类及其相关问题是非线性可积系统理论中的重要研究课题，这一方面的结果不仅有助于人们了解相关的非线性偏微分方程可积性的本质，而且对可积系统在 Gromov-Witten 理论、量子场论等数学物理不同研究领域中的应用具有重要意义。按照项目的研究计划，我们在非线性可积方程簇的分类及相关问题的多个方面开展了深入的研究，取得了如下重要的成果和进展：1）在关于半单流体力学型双哈密顿结构的形变的分类问题的研究中，我们揭示了双哈密顿上同调的某些重要性质，并且由此证明了无色散 KdV 方程簇的双哈密顿结构的形变的存在性定理；刻画了无色散 KdV 方程簇的一个新的具有非常值中心不变量的双哈密顿可积形变的性质。2）我们研究了 WDVV 方程的一类离散对称的性质，通过相应的非线性可积方程簇之间的 reciprocal 变换给出了这类离散对称的一个简单刻画。3）在对一类与半单 Frobenius 流形相关的非线性可积方程簇的研究中，我们首次引入了亏格为 2 的 G-函数的概念，证明了这类 Frobenius 流形的亏格为 2 的自由能可以由这一函数以及某些亏格为 2 的稳定曲线的对偶图表示，并且证明了 A 型奇点的 Frobenius 流形的亏格为 2 的 G-函数为零。4）在关于 2+1 维可积方程簇与无穷维 Frobenius 流形关系的研究中，我们构造了一类新的无穷维 Frobenius 流形的例子，完整给出了与这类无穷维 Frobenius 流形相联系的流体力学型可积方程簇的构造，并且建立了它们与某类有限维 Frobenius 流形之间的关系。5）在关于与 ADE 型奇点对应的 Frobenius 流形及其相关的非线性可积方程簇的研究中，我们证明了这类 Frobenius 流形的全亏格自由能由相应的 W-约束唯一性确定。另外，我们在对具有 tau 对称性质的流体力学型哈密顿可积方程簇在保持其哈密顿结构和 tau 对称条件下的可积形变的分类问题的研究，以及在关于一类具有特殊的常数中心不变量的双哈密顿可积方程簇与量子奇点理论的关系等方面的研究中取得了重要的进展。