具有 tau 结构的哈密顿可积方程簇及相关问题

This project studies a class of Hamiltonian integrable hierarchies which possess tau structures and some related problems, such a class of Hamiltonian integrable hierarchies has important applications in different research fields of mathematical physics. It mainly focuses on the following aspects: To study the representation of the actions of Virasoro symmetries on the tau functions of the integrable hierarchies and their applications to the study of Gromov-Witten invariants and Hodge integrals; To study the transformation properties of the Hamiltonian structures of the integrable hierarchies under Legendre transformations which are obtained by the exchanges of the spatial variable and a certain time variable of the integrable hierarchies; To study the classification problem of this class of integrable hierarchies under Miura type transformations which preserve the tau structures.

本项目研究一类具有 tau 结构的哈密顿可积方程簇的性质及相关问题，这类哈密顿可积方程簇在数学物理的不同研究领域有着重要的应用。项目内容主要包括：研究这类可积方程簇的 Virasoro 对称在其 tau 函数上的作用的具体表示及其在有关 Gromov-Witten 不变量、Hodge 积分等方面研究中的应用；研究这类可积方程簇的哈密顿结构在某种通过交换方程簇的空间变量与某一时间变量得到的 Legendre 变换下的变换规律；研究这类可积方程簇在保持 tau 结构的 Miura 型变换下的分类问题。

本项目研究了一类具有tau结构的哈密顿可积方程簇的性质及其在Gromov-Witten不变量、Hodge积分理论等方面的应用，取得了如下主要成果: 1）导出了特殊3次Hodge积分的生成函数所满足的 Virasoro约束以及圈方程，证明了分数阶Volterra方程簇的某一满足Virasoro约束的tau函数的对数也满足这一圈方程，进而证明了关于特殊3次Hodge积分的生成函数给出了分数阶Volterra方程簇的一个tau函数的对数的猜想；同时还揭示了某些特殊3次Hodge积分所具有的gap性质。2）对任一给定的仿射李代数，证明了它的满足一定条件的Dynkin图的自同构诱导了与这一仿射李代数及其上的某一分次相应的Drinfeld-Sokolov方程簇的一个自同构，并由此给出了这一可积方程簇及其tau函数的约化性质。3）给出了与任一仿射李代数及其上的某一分次相应的Drinfeld-Sokolov方程簇的tau覆盖的一个新的表示及其Virasoro对称，利用Virasoro约束得到了Drinfeld-Sokolov方程簇的tau覆盖的重要特解，证明了刻画这类特解的初始条件的Painlevé型方程的解空间上具有仿射Weyl群作用。4）利用中长波方程簇与线性Hodge积分之间的联系给出了二次微分的模空间的Masur-Veech体积的生成函数的重要性质，提出了关于Masur-Veech体积的大亏格渐近行为的ADGZZ猜想的一个优化的猜想。5）给出了Frobenius流形的主方程簇及KdV方程簇的超tau覆盖，证明了这些可积方程簇的Virasoro对称可以提升为其超tau覆盖的Virasoro对称。