几类非线性模型的定性分析

This project is devoted to the study of stability and related problems for some structured multi-population models with nonlinear boundary condition and a kind of nonlinear KdV equation. By enlarging the state space, structured population models with nonlinear boundary condition can be transformed into non-densely defined problems. This project will built some symmetric bifurcation theory for abstract non-densely defined problems by using integrated semigroup theory, and apply it to some structured multi-population models with one structure variable. Typical structured epidemic models only involve one specific structure variable. This project will build a general structured epidemic model with both chronological age and infection age. The well-posedness, the existence and stability of the endemic steady state, persistence, the existence of attractors, and bifurcation problems will be considered. In particular, we will discuss the influence of the new introducing variable on the stability, bifurcation and the propagation of the epidemic. Moreover, this project will study the stability and stabilization for a nonlinear KdV equation posed on critical lengths.

本项目主要研究具有非线性边值条件的多种群结构模型和一类非线性KdV方程的稳定性及相关问题。通过扩大相空间的办法可将具有非线性边值条件的种群结构模型转化为非稠定的柯西问题。本项目将利用积分半群理论建立非稠定柯西问题的对称性分岔定理，并将其应用于具有单一结构变量的多种群模型上，给出模型在分岔方面的新结果。传统的具有结构变量的传染病模型仅考虑一种年龄结构因素。本项目将建立一般的既有年龄结构又有病程结构的传染病模型，考虑模型解的适定性，有病平衡态的存在性和稳定性，一致持久性，吸引子的存在性及分岔问题等。特别地，分析新引入的结构变量对系统稳定性，分岔及疾病传播方面的影响。此外，研究一类临界区间上非线性KdV方程零解的稳定性及镇定性。

本项目主要研究了具有非线性边值条件的种群结构模型和一类非线性Korteweg–de Vries (KdV)方程的稳定性及相关问题。.年龄结构和大小结构模型中分岔周期解的存在性及稳定性是一个很有意义的问题，它反映了种群密度随时间的周期性变化，但由于模型常具有非线性非局部的边值条件，这为数学理论方面的研究提出了挑战。通过扩大相空间的办法，本项目将一类年龄结构模型和一类大小结构模型转化为非稠定的Cauchy问题，并利用非稠定半线性Cauchy问题的正规型理论计算了这两类种群结构模型的正规型，并给出判断其Hopf分岔周期解稳定性和分岔方向的条件。.KdV方程被广泛用于模拟浅水波的运动，本项目考虑了一类有限区间上的非线性KdV方程。当有限区间不属于某种临界集合时，其线性化系统是指数渐近稳定的，从而整个非线性系统也具有局部渐近稳定性。当有限区间是某一临界长度时，其线性化系统不再具有局部渐近稳定性，此时不可避免要直接对非线性系统进行研究，而不能仅仅依赖线性化系统。对此类问题的研究具有重要的意义，它能够体现出非线性项对整个非线性系统稳定性的影响，这也是关于KdV系统的重要问题之一。针对某一类特殊的临界区间长度，本项目一方面计算了模型在中心流形上约化方程的正规形，另一方面结合中心流形构造Lyapunov函数，从两个角度证明零解的局部渐近稳定性，并估计出解的衰减速度。考虑此类非线性KdV方程的线性化方程所对应的算子，通过对该算子预解式进行估计，得到该算子生成的线性半群具有Gevrey正则性。.此外，本项目还讨论了一类非线性守恒律方程的状态能控性和节点能控性，问题的背景来自半导体生产系统，其生产过程具有多重入复杂制造的特点。模型考虑了更具有实际意义的一般情形，即速度项不仅依赖于非局部项，也依赖于局部变量。首先得到一类相关的线性系统的能控性，再利用线性迭代和不动点定理，最终得到了局部的状态能控性和节点能控性结果。