几类动力学模型的稳定性及分岔问题

This project concerns the stability of the origin of nonlinear Korteweg-de Vries equations and bifurcation problems for several structured population dynamical models. The Korteweg-de Vries equation we studied is posed on a finite interval with critical length. The linearized system around the origin is not locally asymptotically stable. We would like to study the stability of the origin of the whole nonlinear system. Furthermore, we introduce a control term to the right end-point at the boundary condition, and consider the stabilization problem of the origin. On the other hand, we consider some practical structured population dynamical models. By enlarging the state space, these models can be transformed into non-densely defined Cauchy problems. Consequently, the analyses for their dynamical properties are well fitted into the theory of non-densely defined Cauchy problems. By using the Hopf bifurcation theory and normal form theory developed for non-densely defined Cauchy problems, we will investigate the existence of the Hopf bifurcation and the stability of the bifurcating periodic solutions. Moreover, we would like to develop the bifurcation theory for non-densely defined Cauchy problems by using integrated semigroup theory. We are aimed at Bogdanov-Takens bifurcation theory and symmetric bifurcation theory. Furthermore, we will apply these newly developed theories to some dynamical models.

本项目主要研究非线性Korteweg-de Vries方程的稳定性及结构种群模型的分岔问题。所考虑的Korteweg-de Vries模型是作用在临界区域上的非线性系统，它在零平衡态附近的线性化系统不具有局部渐近稳定性。本项目研究整个非线性系统零解的稳定性，并在右端边界上引入一个控制项，进一步讨论零解的镇定性问题。另一方面，考虑更符合实际意义的具有非线性边值条件的结构种群动力学模型。通过扩大相空间的办法将原模型转化为非稠定的柯西问题, 从而使对模型解的动力学性质的分析自然地纳入到非稠定柯西问题的理论框架下。利用对非稠定柯西问题建立的Hopf分岔定理及正规型理论研究结构种群模型Hopf分岔的存在性及Hopf分岔周期解的稳定性。利用积分半群的理论, 发展非稠定柯西问题在分岔方面的相关理论，力求给出相应的 Bogdanov-Taken分岔及对称分岔定理，并应用到具体的种群模型中。

本项目研究了两方面问题，一方面是临界区间上非线性Korteweg-de Vries方程的稳定性；另一方面是非稠定Cauchy问题的对称性分岔及其在种群结构模型中的应用。已完成对一类临界区间长度上非线性Korteweg-de Vries方程的稳定性的讨论，得到零解的局部渐近稳定性。本项目首先对原系统做了适当的变形，证明修正后系统解的全局存在唯一性，并由此解定义一个半群。通过对此半群的具体分析，得到原系统中心流形的存在性及光滑性。最后通过对中心流形上约化方程的动力学分析，证明了原非线性系统零解的局部渐近稳定性。所考虑的这类Korteweg-de Vries模型在零平衡态附近的线性化系统不具有渐近稳定性，但整个非线性系统的零解具有局部渐近稳定性。这一部分研究从稳定性的角度刻画了非线性项对整个非线性系统的影响。种群的年龄结构模型及大小结构模型周期解的存在性具有重要的意义，年龄结构及大小结构模型的分岔问题引起了人们的广泛关注，但此类模型往往带有非线性的边值条件，给研究带来了一定的困难。通过扩大相空间的办法，可将此类问题化为一个非稠定的Cauchy问题来考虑。目前文献中仅存在非稠定Cauchy问题的Hopf分岔定理，并没有建立起其他的分岔理论。本项目已经对一类特定的非稠定Cauchy问题建立了对称性分岔理论，需进一步将其一般化，并在具体的种群结构模型中加以应用。