几类非线性系统的定性分析与极限环分支问题

Many models in real life can be described by nonlinear systems, and it is very important to study the qualitative analysis and limit cycle bifurcations on these systems. In this project, we will investigate the qualitative theory and limit cycle bifurcations problems of several nonlinear systems. Our main contents consist of the following three aspects..Firstly, we study the center problem and Poincaré bifurcation on quasi-homogeneous and semi-quasi-homogeneous systems. An algorithm can be established to obtain all possible explicit systems for a given weight degree. We focus on center problems for such systems and provide some necessary conditions for the existence of centers. By the first-order Melnikov function method, we give the Poincaré cyclicity..Secondly, we research the phase portrait and limit cycle bifurcation problem of systems consists of multiple circles or higher order singular points. We plot all possible needed phase portraits and obtain the range field of closed orbits; Further, by using the first-order Melnikov function method, we study the Poincaré bifurcation and Hopf bifurcation of the unperturbed systems, obtaining their maximal numbers..Finally, the limit cycle bifurcation problem is investigated for a class of planar discontinuous perturbed systems with n parallel switch lines or several straight lines passing through the same point. Under the restriction that the unperturbed system has a family of periodic orbits crossing all of the lines, an explicit expression of the first order Melnikov function along the periodic orbits is presented, which plays an important role in studying the problem of Poincaré, Hopf, Homoclinic and heteroclinic bifurcations.

现实生活中许多模型都可以用非线性系统来描述， 因此对非线性系统作定性分析及分支研究是具有重要的理论与实际意义。本项目将对几类非线性系统的定性理论和极限环分支问题进行研究。主要研究以下三个方面。.1）探究拟奇次与半拟奇次系统的中心及闭轨分支问题。导出当权重固定时获得所有含中心奇点拟奇次多项式系统的算法并对极限环分支问题进行探讨；.2）研究含不变曲线或高次奇点多项式系统的相图及极限环分支问题。画出满足条件未扰动系统在平面上的相图, 给出围绕原点闭轨族的变化范围；对扰动系统的闭轨分支、Hopf 分支进行探讨；.3）探究含多条切换曲线分片光滑系统（该切换曲线是多条平行直线或者是多条过原点射线）的极限环分支问题。当未扰动系统含过多条切换曲线闭轨族时，导出扰动系统首阶 Melnikov 函数的显式表达式。此表达式可用来研究闭轨分支、Hopf 分支、同宿分支、异宿分支。

微分方程与动力系统在科学与工程中有着广泛的应用，因此对非线性系统解的性质的研究具有重要的意义。本项目将对几类非线性系统的定性理论和极限环分支问题进行研究。首先，对拟奇次多项式系统进行定性分析并探讨了其极限环分支问题，提供了当权重固定时获得所有可能的拟奇次多项式系统的一种算法；该成果推广了 2013 年 Garcia 教授在 JDE 上的工作，其创新之处在于提供了一种获得当权重固定时所有拟奇次多项式系统的简单算法。同时对于固定权重和一类一般的拟奇次多项式系统分别提供了出现中心奇点的必要条件和充要条件。其次，探讨未扰动系统含有 m 重不变直线，并对此系统做 n 次多项式系统小扰动研究 Poincare 分支，获得了 Poincare 环性数的一个上界；该成果推广了 [Li et. al. JMAA, 2015] 的工作；2009年，Iliev 教授等在 DCDS-A 杂志上提出了含有亏格为一的二次可逆多项式系统的 22 种类型，之后有很多学者对此加以研究，就其中第六种类型，给出了在 Poincare 磁盘上所有可能的全局相图并对其极限环分支问题加以研究；同时就第一种情况展开系统的研究，研究了其在分片多项式系统扰动下的极限环分支问题。最后，申请者与韩茂安教授合作提供了一种寻求光滑近-Hamiltonian 系统极限环的方法（称为双参数扰动法）, 进而把此种方法推广到含多条关卡线的分片光滑近-Hamiltonian 系统中，获得了研究此类情况极限环数目的方法; 同时把此种方法运用到几类微分系统研究极限环分支问题。