无界域上分数阶和非局部扩散方程的高精度数值方法研究

Fractional and nonlocal diffusion equations have more accurate and extensive applications in simulating anomalous diffusion process, the continuous time random walk, thermodynamics of fractal diffusion, neural network and the finance, etc. This project aims at developing high order numerical methods for fractional and nonlocal equations on unbounded domains. The main research contents include: (1) We first analyze the temporal singularity of the solution of the time fractional diffusion equation on unbouded domain, then develop temporal high order numerical scheme based on the property of the solution, and analyze its stability and convergence; (2) We solve the diffusion equation with fractional Laplacian on unbounded domain using spectral method, adoptting the nontraditional Hermite function as basis functions, and analyze the stability and convergence of the numerical method; (3) We construct high order numerical scheme for the nonlocal diffusion equation on unbounded domain, and analyze the stability and convergence of the scheme.

分数阶和非局部扩散方程在模拟反常扩散过程、连续时间随机游走、分形中的热力学扩散、神经网络以及金融等等领域有着更精准而广泛的应用。本项目拟对无界区域上分数阶和非局部扩散方程采用高精度数值方法进行求解。主要研究内容包括：（1）对空间无界区域上时间分数阶扩散方程的解在时间方向上的奇异性进行分析，之后根据解的性质设计时间方向上高阶数值格式，并分析数值格式的稳定性和收敛性；（2）对无界区域上带有空间分数阶拉普拉斯算子的扩散方程采用谱方法进行求解，全空间采用非传统的Hermite函数作为基函数，并分析数值方法的稳定性和收敛性；（3）对无界区域上非局部扩散方程构造高精度数值格式，并分析所设计格式的稳定性和收敛性。

分数阶和非局部扩散方程是模拟反常扩散现象的一种重要模型。对时间分数阶导数问题，由于其解通常具有初始弱奇异性，如何在该条件下设计高精度的数值方法及其误差分析是一个重要的课题。 我们对时间分数阶初边值问题时间方向上采用在等级网格下的一种高阶格式，空间采用谱方法进行离散，得到了一种全离散格式，并严格证明了其稳定性和收敛性。此外我们针对多种时间分数阶扩散方程以及时间-空间分数阶扩散方程在解具有初始弱奇性的条件下建立了全离散数值格式，并对其稳定性和收敛性做了严格的误差分析，通过数值算例验证了理论分析的正确性。最后，我们指出大多数现有文献中的误差界当分数阶导数阶数趋于1时会产生爆破这一现象， 并初步解决了这一问题，为后续研究作了铺垫。