M-矩阵（张量）最小特征值估计及其相关问题研究

Estimation for the minimum eigenvalue of M-matrices (tensors) and its related problems will be researched by using the method of combining theoretical study with the numerical simulation. Firstly, we will systematically study the minimum eigenvalue of the Hadamard product of an M-matrix and its inverse, and the infinity norms of M-matrices by using convergent sequences to approximate to their true value, and do error analysis, the rate of convergence analysis. Secondly, the relationships of the H-eigenvalue between general tensor and its power will be systematically studied. And on this basis, the estimation of the minimum eigenvalue of M-tensor will be studied in order to get as accurate as possible estimation. Finally, these properties and algorithms will be applied to identify the positive definiteness of even order homogeneous multivariate polynomials, and expect to get some practical algorithms for testing the positive definiteness of an even order homogeneous multivariat epolynomial.

本项目拟应用理论研究与数值实验相结合的方法，研究M-矩阵（张量）最小特征值的估计及其相关问题。首先对M-矩阵与其逆矩阵的Hadamard product的最小特征值和M-矩阵逆的无穷大范数进行研究，以期利用矩阵元素构造收敛的迭代序列去逼近它们，并进行误差分析、收敛速度分析等；其次对一般张量A的幂的H-特征值与张量A的H-特征值之间的联系进行深入系统研究，并在此基础上，研究M-张量的最小特征值的估计问题，以期得到尽可能精确的估计值。最后应用这些性质和算法研究高阶偶次齐次多元多项式正定性的判定问题，以期得到偶次齐次多元多项式正定性的一些新的适用判定算法。

M-矩阵（张量）在计算数学、生物学、物理学、经济学等许多科学技术领域中有着重要应用。当前对M-矩阵（张量）的研究已经成为数值代数研究领域的热门课题之一。.本项目应用理论研究与数值模拟相结合的方法，研究了M-矩阵（张量）最小特征值估计及其相关问题。首先，对非奇异M-矩阵与其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值、非奇异M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数和非奇异M-矩阵的最小特征值进行了研究，利用非奇异M-矩阵的元素构造了收敛的迭代序列去逼近它们，获得了非奇异M-矩阵与其逆矩阵的Hadamard积的最小特征值的下界序列、非奇异M-矩阵最小特征值的下界序列和非奇异M-矩阵的逆矩阵的无穷大范数的上界序列，并进行了收敛性分析；其次，对一般高阶张量A的幂的H-特征值（Z-特征值）与张量A的H-特征值（Z-特征值）之间的关系进行了研究，给出了张量A的幂的Z-特征值与张量A的Z-特征值之间的关系式，并应用它得到了弱对称非负张量Z-谱半径的更精确下界；随后，对M-张量、H-张量和实对称张量等特殊张量进行了研究，得到了M-张量最小特征值的更精确的上下界，给出了H-张量的一些可算法化的条件，获得了偶数阶实对称张量和高阶偶次齐次多元多项式正定性的一些判定方法；最后，项目研究了具有很强应用背景和广泛应用领域的高阶张量H-特征值、Z-特征值和奇异值的定位（即分布、估计和计算）及其应用问题，得到了张量H-特征值、Z-特征值和奇异值的一些新的包含集和一般高阶张量非奇异性的判定方法，然后将这些结果应用于M-张量、非负张量和实对称张量等特殊张量的研究，在完善理论的基础上给出了M-张量最小特征值和非负张量谱半径的更精确的上下界，得到了偶数阶实对称张量和高阶偶次齐次多元多项式正定性的一些新的判定方法。.本项目的研究将促进张量特征值理论的发展和完善，并为实际应用问题中相关问题的研究提供理论依据。