非负张量特征值问题的研究及其应用

Tensor computation is a new field of applied mathematics and computational mathematics. Tensor analysis and eigenvalue computation is one of the main topic in the new field. There are two main kinds of eigenvalues of tensor: H-eigenvalue and Z-eigenvalue. The project has two main purposes. First, we study the eigenvalue problem of nonnegative tensors and ones with closed relation. We establish a linear convergence algorithm for computing the largest eigenvalues of nonnegative tensors; we study the convexity of eigenvalue function of nonnegative tensors and ones with closed relation. We generalize M-matrices and H-matrices to tensors and introduce M-tensors and H-tensors, then we study their eigenvalue problems and applications. Second, based on the above results, we tudy the positive definiteness identification problem and algorithms for computing the singular values of rectangular tensors. On the other hand, based on the Z-eigenvalue problem of tensors, we study a higher-order Markov chain model to analyze and forecast the large data sequence.

张量计算是应用数学和计算数学的一个新兴领域,张量分析和特征值计算是该领域的主要研究课题之一.张量特征值主要有H-特征值和Z-特征值两种定义.本项目着眼于两方面的研究: 一是研究非负张量及与非负张量有关的张量分析和特征值计算问题,主要是设计求解非负张量特征值的线性收敛算法; 研究与非负张量有密切关系的张量特征值函数的凸性等性质, 把M-矩阵和Ｈ－矩阵推广到张量，引入Ｍ－张量和Ｈ－张量，研究它们的性质和应用。 二是把所得到的Ｈ－特征值问题的研究结果应用于控制中的多变形式的正定性判定问题和非负矩形张量的奇异值求解算法设计。把所得到的Ｚ－特征值问题的性质应用于高阶马尔科夫链,对大型数据进行分析和预测.

张量计算是应用数学和计算数学的一个新兴领域，张量分析和特征值计算是该领域的主要研究课题之一。本项目着眼于两方面的研究：一是研究非负张量及与非负张量有关的张量分析和特征值计算问题，主要是设计了求解非负张量特征值与非负矩形张量奇异值的线性收敛算法；研究了与非负张量有密切关系的张量特征值函数的凸性等性质；引入Ｍ-张量并研究其性质和应用。二是把所得到的张量Ｈ-特征值问题的研究结果应用于自动控制中的多变形的正定性判定问题和超图谱理论。提出了多变形的正定性判定问题的判定算法并证明了算法的收敛性；研究了超图的拉普拉斯张量、无符号拉普拉斯张量和邻接张量，分析了它们的最大特征值的界；对于特殊的超图，例如太阳花、超星等，计算出了它们所有的H-特征值；这些结果丰富了张量谱理论和超图谱理论，为用张量表示大数据进而进行大数据的研究提供了基础，具有重要的理论科学意义和实用价值。