张量特征值的算法研究

It just has been seven years from the concept of eigenvalue of tensor was put forward in 2005. It is widely applied in the fields of blind source separation, magnetic resonance imaging, molecular conformation and so on. Thus, the tensor eigenvalue problem is a new research field of vitality. This project attempts to study the eigenvalue of tensor from three aspects: (1) To study the spectral theory of tensors and establish the eigenvalue inclusion theorem for tensors, which provides the theory basis for numerical algorithm; (2) To explore the connection between the tensor eigenvalue and singular value by combining with the general Rayleigh quotient, and design an iterative algorithm for finding the largest singular value of a nonnegative tensor, and further analyze the convergence and stability of the algorithm; (3) To discuss the application of the tensor eigenvalues in medical image, and study a transition probability tensor which arises in a high-order Markov chain, and discuss the computation and convergence of eigenvector corresponding to the largest eigenvalue of a transition probability tensor, and further study the specific propositions of random tensor. Numerical experiments will be done to demonstrate the efficiency of all new designed or improved algorithms involved in this project and verify the validity of the theoretic analysis.

张量特征值的概念从2005年提出至今只有七年的时间，它在盲信号分离、核磁共振成像及量子物理等领域有着广泛的应用前景。因此，张量特征值问题是一个新兴的、极富生命力的研究方向。本项目拟做如下的研究工作：讨论张量特征值的谱理论，建立张量特征值的估计式，为算法提供必备的理论依据；结合广义Rayleigh商讨论张量奇异值与特征值的联系，设计求非负张量最大奇异值的迭代算法，并分析算法的收敛性、稳定性等问题；讨论张量特征值在医学图像中的应用，并针对高阶马尔可夫链过程中的转移概率张量，讨论其最大特征值所对应的特征向量的计算及收敛性问题，从而进一步研究随机张量所特有的诸多性质。在本项目中涉及的所有新设计、改进的算法都将用数值试验来检验其有效性及理论分析的正确性。

本项目主要研究了以下四个方面的内容：（1）研究了张量奇异值及其对称嵌入的特征值的关系，利用这个关系，设计了求非负张量最大奇异值的迭代算法，数值试验说明了方法的有效性；（2）研究了张量特征值的界的问题，并得到了一些有意义的结论：给出了非负张量谱半径的进一步的估计，给出了张量是强M-张量的充分条件，给出了判定偶数阶实超对称张量正定性的不等式；（3）对于张量方程，利用分层确定法则，给出了基于梯度的迭代算法；此外，对于左端系数对称正定，右端秩1的这一类张量方程，利用Tucker格式，提出了隐式的共轭梯度法，极大地减少了计算存储量，提高了计算效率；（4）在研究张量特征值的同时，也考虑了矩阵特征值和奇异值在图像处理中的应用，利用Lanczos双对角化与奇异值分解改进了人脸识别的算法，数值试验表明，改进之后的算法识别效果更好。