相关于奇异积分算子的若干重要问题

Many important issues in Mathematics and Physics can be summarized to study the boundedness of some operators on certain function spaces. While the boundedness of operators, in particular, the boundedness of singular integral operators and related operators, are always one of the core contents of harmonic analysis. This project aims to further perfection and develop the regularity theory of maximal operators and theory of singular integral operators on the base of the previous ones. The main contents of this project are as follows: studying the sharp problems on the endpoint regularity properties of Hardy-Littlewood maximal operator-centric all kinds of maximal operators and their discrete versions in one dimension case; establishing the endpoint regularity properties of Hardy-Littlewood maximal operator-centric all kinds of maximal operators in high dimension case; establishing the regularity properties and continuity of strong maximal operator、multilinear (fractional) strong maximal operators and local multilinear (fractional) maximal operators; establishing the boundedness of maximal singular integral operators associated to lower-dimensional sets、maximal operators related to singular integrals with radial kernels、maximal operators with rough kernels and Littlewood-Paley square operators on Triebel-Lizorkin spaces、Besov spaces and new parametric type Triebel-Lizorkin spaces and Besov spaces.

数学与物理中的许多重要问题均可归结为研究某些算子在一定的函数空间上的有界性. 而算子的有界性，特别是奇异积分算子及其相关算子的有界性，一直是调和分析研究的核心内容之一. 本项目将在已有的极大算子正则性理论与奇异积分理论的基础上，拟进一步完善和发展上述理论. 主要内容包括：研究一维情形下以Hardy-Littlewood(简记为H-L)极大算子为中心的各类极大算子及其离散情形的端点正则性的尖锐问题；建立高维情形下以H-L极大算子为中心的各类极大算子的端点正则性；建立强极大算子、多线性(分数次)强极大算子以及局部多线性(分数次)极大算子的正则性与连续性；建立沿低维集的极大奇异积分算子、粗糙核极大算子等相关极大算子以及Littlewood-Paley平方算子在欧式空间上Triebel-Lizorkin空间与Besov空间以及新的Triebel-Lizorkin型与Besov型空间上的有界性.

数学与物理中的许多重要问题均可归结为研究某些算子在一定的函数空间上的有界性问题，而算子的有界性，特别是奇异积分算子及其相关算子的有界性，一直是调和分析研究的核心内容之一。本项目基于奇异积分理论与极大算子正则性理论这两类重要研究主题，系统化地研究了强极大算子、多线性极大算子的正则性以及极大奇异积分算子与Littlewood-Paley算子的有界性与连续性问题，主要包括：首次建立多线性强极大算子以及极大算子交换子在Sobolev空间、Triebel-Lizorkin空间以及Besov空间上的有界性与连续性；建立了局部多线性极大算子及其分数次情形、单边分数次极大算子及其多线性情形在Sobolev空间上的有界性与连续性；引入一类相关于光滑函数的离散型极大算子以及非切向极大算子，并建立了相关算子的变差有界性与连续性；系统化地研究了沿低维集的粗糙核极大奇异积分算子在Triebel-Lizorkin空间与Besov空间上的有界性与连续性；首次建立由带径向核的奇异积分生成的极大算子以及一般化的Littlewood-Paley算子在Triebel-Lizorkin空间与Besov空间上的有界性与连续性；建立了沿齐型映射以及多项式映射的Marcinkiewicz积分算子在Triebel-Lizorkin空间与Besov空间上的有界性与连续性；首次研究粗糙核奇异积分算子在混合径向-角空间上的有界性，并进一步研究了Marcinkiewicz积分算子以及极大算子的相应有界性。这些结果不仅丰富与完善了极大算子正则性理论与奇异积分算子理论，而且部分工作尚属首次，具有重要的理论价值与潜在的应用前景。