多线性极大算子与分数次极大算子的正则性研究

The real variable theory of function spaces is an important component in harmonic analysis. Many issues in Mathematics and Physics can often be attributed to the boundedness of operators on some function spaces. Hardy-Littlewood maximal function is a class of important operators in harmonic analysis. The boundedness of many integral operators can often be obtained by using the boundedness of the related maximal operators. Moreover, the maximal function has been successfully used in studying Sobolev functions and partial differential equations recently. Over the last decade and recently there has been considerable interest in understanding the regularity properties of maximal operators. Very recently, the applicant and his collaborators have obtained a series of important results on the regularity of maximal operators. In particular, they got the regularity properties of multisublinear maximal operators. Also they have introduced a new class of discrete maximal operators and established the endpoint regularity of these operators. This project will be devoted to the further research on the regularity theory of maximal functions, including establishing the endpoint regularity of multisublinear maximal operators and the fractional maximal operators ; establishing the continuity of multisublinear maximal operators and the fractional maximal operators on the Sobolev spaces; establishing the endpoint regularity of discrete multisublinear maximal operators and discrete fractional maximal operators.

函数空间实变理论是调和分析的重要组成部分，数学与物理中的许多问题均能归结为算子在某些函数空间上的有界性. Hardy-Littlewood极大函数是调和分析中一类重要算子，许多积分算子的有界性往往需要借助于相关极大算子的有界性来得到，而且它也被成功地应用于研究Sobolev函数以及偏微分方程中. 近年来极大算子的正则性越来越受到广泛的关注. 申请人及合作者已获得一系列关于极大函数正则性的重要结果：特别地，建立了多线性极大算子的正则性，引入一类广义离散极大算子并建立其端点正则性. 本课题拟进一步发展极大函数的正则性理论. 其中包括建立多线性极大算子及分数次极大算子的端点正则性；建立多线性极大算子与分数次极大算子在Sobolev空间上的连续性；建立离散多线性极大算子与分数次极大算子的端点正则性，包括这些算子从离散Lebesgue空间到有界变差函数空间上的有界性与连续性.

算子有界性一直是调和分析研究的核心内容之一，这是因为数学与物理中的许多问题均能归结为算子在某些函数空间上的有界性。作为调和分析中的一类重要算子，Hardy-Littlewood极大算子（简称HL极大算子）一直在积分算子的有界性研究以及其它方面发挥着重要作用。基于极大算子在Sobolev函数性质研究以及偏微分方程问题研究中的重要应用，极大算子的正则性问题自然而然地被归结为研究以HL极大算子为核心的各类极大算子在Sobolev空间上的有界性问题。通过极大算子在Sobolev空间上的有界性可建立相关的容量不等式，从而进一步用于研究Sobolev函数的逐点性态及其极大函数的拟连续性。近年来极大算子的正则性越来越受到广泛的关注。本课题主要研究多线性极大算子与分数次极大算子的正则性。特别地，建立了一维离散中心分数次极大算子的端点正则性，即其从离散Lebesgue空间到有界变差函数空间上的连续性与Sharp有界性；建立了多线性分数次极大算子在Sobolev空间上的有界性与连续性；建立了一维多线性分数次极大算子的端点正则性；建立了离散多线性分数次极大算子的端点正则性。这些结果极大地丰富与完善了极大算子的正则性理论，而且为偏微分方程等相关领域的研究提供重要理论支撑。