非线性离散系统的动力学性质

本项目主要通过建立适当的函数空间和变分结构，利用变分方法研究非线性离散系统的周期解、边值问题、同宿轨与异宿轨。具体说来，利用临界点理论中的各种形式的极小极大定理，研究高阶非线性离散系统周期解、边值问题解的存在性；利用几何指标理论与伪指标理论讨论离散系统周期解与边值问题解多重性条件；对基本函数空间进行适当的分解，在一定的子空间或流形上估计泛函的临界值，获得解决周期解的最小周期问题的方法。利用极小极大方法、Nehari流形方法、线性算子谱的性质，获得有限维周期序列空间变分泛函的临界点序列，通过逼近的方法获得具周期系数的非线性离散系统同宿轨的存在性；借助于研究微分系统同宿、异宿轨的方法和临界点理论最新成果，克服解的不连续性所带来的困难，建立较系统的一般非线性离散系统同宿、异宿轨存在条件。探讨非线性离散系统同宿、异宿轨在物理学中的应用。这项研究既具有重要的理论意义，又具有广阔的应用价值。

本项目主要通过建立适当的函数空间和变分结构，利用变分方法研究了非线性离散系统的周期解、边值问题、同宿轨及其相关问题。具体说来：1. 通过建立相关的不等式，利用临界点理论、Nehari 流形方法、周期逼近技巧等， 研究了具周期系数与非周期系数的差分方程同宿解的存在性与多重性以及不存在性， 超线性及具无界势的离散非线性薛定谔方程的离散孤立子的存在性与多重性。我们的结果不仅推广了传统的Ambrosetti-Rabinowitz超线性条件，还首次研究了在混合非线性条件下的情况。2. 考虑了具周期系数的耦合离散非线性薛定谔方程，它是Gross-Pitaevskii系统的离散化，在理论和实际中都有重要的作用。利用Nehari流形方法结合周期逼近技巧，我们获得了其基态解的存在性。特别重要的是，我们证明了解的两个分量均不为零，这与纯量离散非线性薛定谔方程的情况有本质不同。 3. 我们考虑了一般的以及特殊的φ-拉普拉斯差分方程及高阶非线性离散系统的周期解与边值问题，利用临界点理论来证明这类特殊的φ-拉普拉斯差分方程边值问题解的存在性还是第一次。运用上下解方法、不动点指数理论和Brouwer度理论等，我们还研究了在不同的边界条件下的非线性差分方程正解的存在性、唯一性与多解性。