若干与振荡积分相关联的问题研究

E.M.Stein attributed the oscillatory integral operator to the most important operator in Harmonic Analysis. Actually, the Fourier transform and Bochner-Riesz means are two classical oscillatory integral operators. Classical Fourier restriction theorem has deep connection with Bochner-Riesz multiplier, Kakeya maximal function and other important objects of analysis.Meantime it has many great applications to estimation of the solution to some partial differential equations, such as wave equations and Schrodinger equations. This project studies the following problems related with the oscillatory integral. (1) The restriction theorem for generalized Fourier transform. (2) Discuss the difference between the generalized Fourier transform and classical Fourier transform. (3) Study the relationship between restrictive properties of generalized Fourier transform and the generalized Bochner-Riesz multiplier. (4) Multilinear oscillatory integrals. (5) The decay of the oscillation integral operator in the high dimensional space. The research on these issues will extend the research methods and scope of harmonic analysis, and it is very likely to bring about innovative and original results.

Stein 把振荡积分算子总结为调和分析中最重要算子。事实上，Fourier 变换和Bochner-Riesz 平均都是经典的振荡积分算子。经典 Fourier 变换的限制性定理与 Bochner-Riesz 乘子、Kakeya 极大函数等重要分析对象有着深刻的联系。同时在偏微分方程解的估计，如波动方程，Schrodinger 方程等有重要的应用。本项目将研究与振荡积分有关的下面几个问题。(1) 广义 Fourier 变换的限制性定理；(2) 探讨广义 Fourier 变换和经典Fourier 变换的异同；（3）研究广义 Fourier 变换限制性性质与广义 Bochner-Riesz 乘子的关系 (4) 多线性振荡积分；(5)高维空间上的振荡积分算子衰减问题。对这些问题的研究将扩展调和分析的研究方法和范围，极有可能带来方法上的创新和原创性的结果。

在本课题的资助下，四年来我们探索了调和分析的核心问题，取得了一系列原创性成果，方法上也有很大的发展和创新，这些成果对偏微分方程，位势理论的某些问题有启发和促进，其中代表性成果如下：.1..在高维空间上系统研究了振荡积分算子的有界性问题以及算子范数衰减性问题，我们证明了算子的界依赖于相位函数的牛顿多面体，本质上改进了E. M. Stein和我们自己在一维振荡积分的结果，在高维空间上，这是创新性的工作。.2..对实解析函数为相位函数的振荡积分，完全避开代数几何而用纯实分析方法，彻底解决了带实解析相位的振荡积分算子 最佳衰减问题。之前普遍认为研究实解析相位问题不可避免要用代数几何理论和方法。.3..彻底解决了任意k重Beta积分公式成立的充要条件，回答了美国学者Grafakos 1999提出的问题。对k=2, 3，Grafakos等人用Fourier变换的方法给予解决，证明方法完全依赖于k=2, 3, 该方法几乎不可能用来研究k>3 的情况。我们利用凸分析及最优化的思想和技巧，再结合调和分析中的方法彻底解决了这个问题。Beta等式在球面上的积分即为Selberg积分。.4..系统研究了三线性带光滑相位的振荡积分算子最佳下降界的问题，充分利用对卷积型算子结构的分析和对光滑相位的奇点消解技巧，彻底解决了这一问题，这是振荡积分研究中的一个有价值的问题。.5..系统研究了分数次曲线上的傅里叶限制性算子, 应用 profile 分解方法给出了端点型 Strichartz不等式的极值函数列准紧性的刻画,并对非端点型 Strichartz 不等式直接得到了极值函数的存在性。.6..对于高维分数次曲面上的傅里叶限制性算子, 我们应用 Tao 的双线性限制性估计和 Lieb 的方法给出了端点型 Strichartz 不等式的极值函数列准紧性刻画.我们的准紧性刻画蕴含了某些分数次曲面上端点型 Strichartz 不等式的极值函数存在性。.7..给出了三线性和四线性Hardy-Littlewood-Sobolev不等式成立的充要条件及最佳常数。