二阶非线性时标动态方程及相关问题的研究

时标理论属国际前沿的一个新研究领域，它整合了连续与离散分析，它的研究不仅能把微分方程理论和差分方程理论很好地结合在一起，促进对微分方程和差分方程理论的认识，推动微分和差分方程理论的发展，而且通过对时标的不同选取，所得的结果比微分方程和差分方程理论更为广泛。近两年，申请者和Lynn Erbe和Allan Peterson合作对时标动态方程的基本理论进行了系统的研究，所得到的一系列结果已形成一套完整的理论，自成一体。本项目将在已有研究成果的基础上继续研究二阶非线性时标动态方程与相关问题，包括将二阶超线性微分方程的Atkinson定理推广到n阶非线性时标动态方程中；进一步推广Kiguradze定理和Belohorec定理；研究一类二阶离散Emden-Fowle方程所有解的非振动性等。同时还将和James Wong、Man Kam Kwong合作研究高阶差分方程多点边值问题非平凡解的存在性等问题。

时标理论属国际前沿的一个新研究领域，它把连续的微分方程理论和离散的差分方程理论很好地结合在一起，推动了微分方程和差分方程理论的发展。本项目主要研究二阶非线性时标动态方程x^{\Delta\Delta}(t)+p(t)f(x^{\sigma}(t))=0解的振动性和渐近性，其中p(t)可以取负值.已取得如下研究成果：.　　(1) 将Belohorec关于二阶次线性微分方程的结果推广到时标方程。作为此一结果的应用，得到如下的结果：当允许系数函数取负值时，二阶次线性差分方程解振动的充分条件。这些结果，改进了Hooker、Patula和Mingarelli的结论。(见成果目录(I)).　　(2) 给出了二阶Emden-Fowler时标动态方程存在满足lim_{t\rightarrow\infty}\frac{x(t)}{t}=A\neq 0解的充分条件。(见成果目录(II)).　　(3) 得到了二阶非线性时标动态方程的非振动解应满足的Riccati积分方程。 (见成果目录(III)).　　(4) 给出了偶数阶超线性差分方程解振动的充要条件和奇数阶超线性差分方程解振动或趋于零的充要条件。(见成果目录(IV)).　　(5) 给出了含阻尼项的二阶次线性时标方程 x^{\Delta\Delta}(t)+q(t)x^{\Delta^{\sigma}}(t)+p(t)x^{\alpha}(\sigma(t))=0 所有解振动的充分条件,其中p(t)可以取负值，0<alpha<1。 (见成果目录(V)).　　(6) 给出了偶数阶次线性差分方程解振动的充要条件和奇数阶次线性差分方程解振动或趋于零的充要条件。(见成果目录(VI))