时标动态方程边值问题解的分歧结构研究

The spectrum theory of the linear problems plays a crucial role in the solvability of the nonlinear problems. But the relationship between the results of solvability of nonlinear boundary value problems on time scales and the spectrum structures of the corresponding linear problems is still unclear.This project is aimed at to study the relationship. The global bifurcation structure of solutions to nonlinear boundary value problems will be discussed, for the generalized form of a nonlinear boundary value problem of second-order dynamic equation with weight function, a nonlinear resonance boundary value problems of second-order dynamic equation and a nonlinear boundary value problem of fourth-order dynamic equation, respectively. The optimal solvability results related to the corresponding linear problems will be obtained. Meantime, as the request of the research, the spectrum results such as the distribution and orthogonal properties of generalized zeros of eigenfunctions of the linear problems on time scales will be developed.The existence theorems for any 2n or infinite solutions will be established in this project. It can pinpoint the numbers of the zeros and the variation of the sign on a given interval of any solutions. The study could generalize, integrate and develope the previous results of boundary value problems of differential equation, difference equation and dynamic equation on time scales,and get the new solvability theorems and enrich the spectrum theory of the linear eigenvalue problem on time scales.

线性问题谱理论在非线性问题可解性的研究中起着关键作用. 但时标上已有非线性边值问题的可解性结果并没有明确非线性问题可解性与对应线性问题谱结构间的联系. 本项目从明确这种联系入手, 研究时标非线性边值问题解的全局分歧结构, 分别讨论一般形式的时标非线性二阶加权动态方程边值问题、二阶共振边值问题和四阶边值问题的可解性，获得与相应线性问题谱结构有关的最优的可解性结果. 同时根据研究需要, 发展对应的时标线性问题的特征函数的广义零点分布和正交性等谱结果. 本项目的研究预计可以建立任意2n个解甚至无穷多个解的存在性定理, 同时精确指出每个解在给定区间内的零点个数和变号次数, 推广、统一、发展前人关于常微分方程、差分方程以及时标动态方程边值问题已建立的相应结果, 获得新的可解性定理, 同时丰富时标线性特征值问题的谱理论结果.

线性问题谱理论在非线性问题可解性的研究中起着关键作用. 虽然时标非线性动态方程边值问题可解性的研究经过二十年的蓬勃发展, 已文献众多, 但其已有的可解性结果都还没有明确非线性问题可解性与对应线性问题谱结构间的联系. 究其原因，很大程度上是因为时标线性问题的谱理论，尤其是时标加权线性问题的谱理论还没有明晰系统的研究成果. 本项目从明确这种联系入手, 先发展了一般形式的时标加权动态方程线性问题的特征函数的广义零点分布和正交性等谱结果，给出了相应特征函数的广义零点的分布形态及相关性质，建立了零点分布的Sturm比较定理和分离定理，又研究了多类时标动态方程非线性边值问题解的全局分歧结构，包括特殊时标上非线性二阶共振边值问题和四阶边值问题的可解性，非线性边值条件下椭圆特征值问题的区间分歧，无界连通分支与非线性一阶滞后微分方程正周期解的存在性等. 这些结果都是紧紧围绕相应线性问题谱结构获得的非线性问题的最优的可解性结果. 它们不但丰富了时标线性特征值问题的谱理论，也推广、统一、发展了前人关于常微分方程、差分方程以及时标动态方程边值问题已建立的相应结果. 本项目所研究的动态方程和动态系统在生理过程建模、弹性梁刻画、电磁波入射运动等实际问题中应用十分广泛.