D-空间与连续统的基数不变量

A topological space with the D property is called a D-space. The D property is a kind of covering property, this project mainly studies the relationship between the D property and the standard covering properties...The theory of D-spaces becomes a research hotspot in set-theoretic topology. Little is known about the relationship between the D property and many of the standard covering properties. For example, it is not known if a very strong covering property such as Lindelofness implies D. This problem was listed as Problem 14 in Hrusák and Moore’s list of 20 open problems in set-theoretic topology [13]. The applicant established further connections between this problem and cardinal characteristics of the continuum based on Aurichi et al.'s work, and tries to break through on the following questions:..1)Is every Lindelof space of cardinality less than cov(N) a D-space?..2)Examine whether every Lindelof space of cardinality less than k is a D-space, where k is a cardinal characteristic of the continuum...These problems have important theoretical significance on both the studies of D-spaces and the cardinal characteristics of the continuum.

D-空间是一类具有特殊覆盖性质的拓扑空间，本项目主要研究D-空间与具有经典覆盖性质的拓扑空间之间的关系。..D-空间是一般拓扑学目前的研究热点之一。D-空间与许多经典覆盖性质之间的关系尚未确定，如正则Lindelof空间是否是D-空间这样的基本问题仍未彻底解决。该问题已被列入“集论拓扑学的二十个公开问题”[13]之中。申报人在前人工作基础上，建立了该问题与连续统的基数不变量之间的进一步联系，围绕基数不变量对该问题的影响展开研究，力图在下列问题上有所突破：..1)基数不超过cov(N)的Lindelof空间是D-空间吗？.2)一般地，当k是连续统的一个基数不变量时，考察基数不超过k的Lindelof空间是否都是D-空间...由于连续统的许多基数不变量之间的关系尚不明了，所以以上问题的解决无论是对D-空间理论还是对连续统基数的进一步研究都具有重要理论意义。

上世纪七十年代，著名数学家Eric van Douwen提出了“正则lindelöf空间是否都是D-空间”的问题，对该问题的研究进展缓慢。近二十年来随着一般拓扑学的进一步发展，该问题被深入研究，并显示出较大的理论价值，成为了热点问题。它加深了人们对覆盖性质、广义度量性质的理解，同时研究工具的局限性也暴露出来。..与一般拓扑学联系密切的集合论领域在这一时期发展迅猛，产生了若干强有力的研究工具，这些工具在对D-空间理论进行研究时显示了强大威力，并获得了富有成效的研究结果，但远未完善，极具探索价值。..本项目的研究工作正是在这样的时机和背景下展开的，旨在运用连续统的基数不变量、初等子模型等工具对van Douwen提出的问题进行研究。主要力图攻克以下问题：..1）基数不超过cov(N)（或non(N)）的遗传lindelöf空间具有怎样的覆盖性质？是否都是D-空间？.2）单调正规的lindelöf（或仿紧）空间是否都是D-空间？..两个（类）问题可采取类似地研究思路，就是用可数的初等子模型与空间本身作交集，在这个交集中寻找闭离散的核。方法是把所有（或部分）可能成为核的闭离散集赋予拓扑，研究其拓扑性质，从而与基数不变量联系起来。这其中的关键在于，..A）把闭离散集赋予适当的拓扑并研究其拓扑性质；.B）可数初等子模型与空间本身的交集的特性。..在项目执行期间，我们虽未能给出1）和2）的完整答案，但对A）和B）进行了较为深入的探索，得到的主要结果有：..对于A）：.A1)定义了三类不同的闭离散集构成的拓扑空间，并研究了它们各自的拓扑性质以及相互联系（详见正文）；.A2)证明了σ-紧空间的部分闭离散集可构成一个解析-P理想（详见正文）。..对于B）：.B1)对给定的可数初等子模型M，研究了M-等价类，证明了几类特殊的单调正规lindelöf空间中的M-等价类只含有两个元素（详见正文）。..以上结果对研究D-空间理论有较大的理论价值，其中A2)和B1）初步显示了解析理想和M-等价类的重要性，为研究工作的进一步展开提供了很好的支持和启发，也可单独作为研究对象。