初等子模型上的拓扑及其在D-空间理论中的应用

A topological space X and an elementary submodel M of set theory induce several new topological spaces(such as X(M),X/M). Recent research shows important theoretical and practical significance of these spaces...In this project, we mainly study topological properties of the spaces X/M's and investigate the relations between X and X/M:.1)If X has property P, does X/M has property P? What about the converse?..We also apply the results to the study of the theory of D-spaces and structures of monotonically normal spaces, focusing on the following problems:.2)Does every Lindelöf space of size less than cov(N) have stronger covering properties(such as Menger, Hurewicz)?.3)Must every paracompact monotonically normal space be a D-space?..Studies of problem 1) will expand our knowledge on the topology of elementary submodels and they are helpful to further applications of elementary submodel to mathematical problems, such as 2) and 3), which are urgent problems in the theory of D-spaces to be settled.

对给定的拓扑空间X和初等子模型M，有多种方法诱导出新的拓扑空间（如X(M)、X/M等），对这些空间拓扑性质的研究在最近十几年中显示出重要的理论意义和应用价值。..在本项目将重点研究X/M的拓扑性质及其与X之间的关系：..1）如果X具有性质P，那么X/M是否具有性质P？如果X/M具有性质P，那么X是否具有性质P？..并应用这些结果研究D-空间理论与单调正规空间的结构，力图在下列问题上有所突破：.2）基数不超过cov(N)的Lindelöf空间是否具有更强的覆盖性质（如Menger、Hurewicz等）？.3）仿紧的单调正规空间是否是D-空间？..由于对X/M的研究远未完善，问题1）的解决将建立关于X/M拓扑性质较为完整的理论，为推广初等子模型的使用提供进一步的理论基础。问题2）3）属于目前D-空间理论中亟待解决的问题，应用问题1）的研究结果可望给出2）3）的肯定回答。

本项目主要围绕van Douwen提出的著名公开问题“正则Lindelöf空间是否是D-空间”展开研究，力图借助模型论、连续统的基数不变量理论、自然数集上理想的组合理论在一般拓扑学中的应用，探索研究该问题的新方法、新工具。..实际开展的主要研究内容分四个方面：.A）对给对的拓扑空间X以及包含X的可数初等子模型M，研究X/M的拓扑性质；.B）对给定的基数小于cov(N)的Lindelöf 空间X和包含X的可数初等子模型M，研究X和X/M能否具有更强的覆盖性质；.C）研究正则Gδ对角线在n-to-1开映射下能否逆保持；.D）给定拓扑空间X以及自然数集上的理想I，研究在空间X中，“I-闭”这个性质能否对有限并封闭。..取得的主要研究结果如下：..A1）分别给出了X/M同胚于Cantor空间、Baire空间、实直线子区间的较为宽松的充分条件；.A2）对X为第一个不可数基数（取离散拓扑）的情形，证明了X/M具有以下性质：同胚于实直线的一个不可数子空间；具有perfectly meager和universally measure zero性质 ；包含强齐性稠子空间；命题[X/M具有Menger性质]和命题[X/M具有Hurewicz性质]分别独立于ZFC公理系统。.B1）对Scheeper's Diagram中的任何性质P，以下命题分别独立于ZFC：[任何基数小于cov(N)的Lindelöf 空间X具有性质P]；[对任何基数小于cov(N)的Lindelöf 空间X和包含X的可数初等子模型M，X/M具有性质P]。.C1）对任何自然数n，存在Hausdorff空间X和次可度量空间Y，使得Y是X的开n-to-1映像而且X不具有正则Gδ对角线。.D1）存在特征等于连续统势的Hausdorff空间X和具有较低描述复杂度（Fσ）的一类理想I，使得“I-闭”这个性质在X中不总是对有限并封闭；.D2）以下命题独立于ZFC：[对任何特征小于c的Hausdorff空间X，以及任何Fσ理想I，“I-闭”这个性质在X中对有限并总是封闭的]。..其中C1）D1）D2）回答了两个公开问题。