变形介质油藏数值模拟中的间断有限元方法研究

Discontinuous Galerkin methods have been very attractive for numerical simulations in computational fluid dynamics recently. By reasonably choosing the numerical fluxes, this project aims at applying LDG（Local Discontinuous Galerkin）method to flow displacement problems in deformed and porous reservoirs, and establishing a series of reliable and stable numerical algorithms. In particular, the following aspects will be discussed. (1) A combined method consisting of the splitting positive definite mixed finite element method for flow and the LDG method for transport will be introduced. The resulting procedure can be split into two independent symmetric positive definite sub-schemes. Numerical experiments will be performed to verify the theoretical results. (2) Introduce the LDG method to the coupled system of flow and transport equations. Derive the stability bounds and a priori error estimates based on energy arguments. Finally, some numerical tests will be given to validate the theoretical work. Moreover, we would like to construct a posteriori error estimates for the problem. (3) We plan to develop and analyze LDG method to solve flow displacement problems in deformed and porous reservoirs involving δ-functions. Especially, when the δ-function is given as the source term, we would like to analyze the pollution region and the rate of convergence outside. (4) Construct limiters to obtain bound-preserving LDG schemes, keep the order of accuracy in the mean time.

近些年来，间断有限元方法成为广受欢迎的应用于流体计算领域的数值手段之一。本项目通过合理选取数值流通量，力求将LDG（Local Discontinuous Galerkin）方法应用到变形介质渗流驱动问题中，建立起可靠、稳定的数值算法。具体研究内容如下：(1)将分裂正定混合元方法和LDG 方法结合分别处理压力方程和流体饱和度方程,将耦合方程组系统分裂成两个独立子系统，降低问题求解难度和规模，提高速度和增加并行性，并进行数值实验验证方法有效性。(2)利用LDG 方法对压力方程和流体饱和度方程同时进行模拟,讨论算法稳定性及其能量模先验误差估计，并通过数值模拟验证方法的有效性。并针对上述算法进行后验误差估计, 期望能给出有效的理论分析。(3)针对具有实际物理意义的情形：间断初值和包含有δ函数的源汇项，进行误差分析。(4)构造限制子，改进算法，力争得到保界的间断有限元算法，编译出高效算法模块。

近些年来，间断有限元方法成为广受欢迎的应用于流体计算领域的数值手段之一。本项目通过合理选取数值流通量，将LDG（Local Discontinuous Galerkin）方法应用到渗流驱动问题中，建立起可靠、稳定的数值算法。具体研究内容如下：(1)利用LDG方法对压力方程和流体饱和度方程同时进行模拟,讨论算法稳定性及其能量模先验误差估计，并通过数值模拟验证方法的有效性。(2)构造限制子，改进算法，得到保边界的间断有限元算法和WENO保边界算法，编译出高效算法模块。这种方法不仅保证了算法的稳定性，而且使得数值解不会出现发散，首次解决了传统意义下直接计算数值解越界的问题，从而能更好地模拟油井周围以及在间断附近流体的性态。这部分工作具有很强的独创性，开辟了油藏数值模拟新的研究领域。(3)针对线性双曲方程和抛物方程：间断初值和包含有δ函数的源汇项，进行误差分析。污染物与的研究可以为高精度格式的收敛性提供理论依据。我们在实际模拟时可以得到在哪些区域内的数值解是有足够高的收敛精度的，从而增加模拟结果的可靠性。超收敛的误差估计可以为自适应网格提供依据。(4)针对时变对流扩散最优控制问题，首次结合新型的稳定化方法，充分发挥最优控制方法的优势，并从理论上给出完善有效的先验理论分析,通过数值实验上验证方法的有效性。另外，课题组还围绕抛物方程快速算法以及分数阶微分方程算法开展了一些基础性研究工作。