GL(2)的可容许Banach表示

Breuil近年提出了p-进Langlands纲领的课题，这是经典局部Langlands纲领的类比。此后，Berger、Breuil、Colmez 以及Paskunas等人对GL（2，Qp）建立了p-进Langlands对应，即Qp上的2维不可约Galois表示与GL（2，Qp）的拓扑不可约可容许Banach表示之间的一一对应。.本项目的目标是对Qp的任一个有限扩域L构造GL（2，L）的一类可容许Banach表示。我们的方法是用P^1(L)上的函数空间来构造Banach表示，再以Kisin-Ren建立的（φq,Γ）-模为工具来证明这些Banach表示的可容许性。为此，一方面，我们要完善Kisin-Ren的结果；另一方面，我们要通过研究L的整数环上的函数空间的p-进Fourier分析，建立起这些函数空间和（φq,Γ）-模之间的关系。

Langlands纲领是代数数论的中心课题。本项目关注的是与之密切相关的p-进Langlands纲领。p-进Langlands纲领由法国数学家Breuil提出，近年来引起众多数学家的研究和关心。在这方面有出色贡献的有Breuil、Colmez、Berger、Emerton等人。在这些人的努力下，目前Qp上的二阶一般线性代数群的情形是清楚的。在这个情形下，本项目支持人和合作者证明了Emerton的一个猜测。已有的这些研究成果已经给数论带来丰富的结果，比较显著的有Kisin在Fontaine-Mazur猜测上取得突破。我们关于Emerton猜测的工作也被好几位数学工作者运用。..接下来，自然而然要做的事就是对它推广，这却是个非常困难的课题。下面介绍在本项目支持下我们的成果。在将Colmez的方法推广时我们会遇到很多的难点。难点之一是一些基础性的工作还没有做好。本项目主持人在这个方向上的思考是研究解析的Kisin-Ren模。法国数学家Fourquaux和笔者首先观察到非解析的Kisin-Ren模很少：我们提出一个上同调来刻画解析拓展，我们发现除了一种例外情形，几乎所有秩为1的解析Kisin-Ren模用平凡的秩为1的Kisin-Ren模来拓展得到的都是秩为2的解析的Kisin-Ren模。这反映了Kisin-Ren模的局限性。尽管如此，我们认为解析Kisin-Ren模还是有价值的。在Fourquaux和项目主持人的工作的启发下，Berger证明了解析Kisin-Ren模的范畴等价于具有特殊性质的Sen算子的Galois表示的范畴。德国数学家Schneider和项目主持人从另一个角度考虑解析Kisin-Ren模，将解析Kisin-Ren模和Schneider-Teitelbaum提出的p-进Fourier变换联系起来。..在本项目支持下本人发表了4篇论文，分别发表于 Algebra Number Theory, Math. Res. Let., J. Algebra 和 Comm. Alg. 四个国际学术杂志。详情见报告正文。