Banach空间中非线性映射的表示及其稳定性

The study of nonlinear mappings in Banach spaces, such as isometries, Lipschitz mappings, Holder mappings and uniformly continuous mappings, plays an important role in the theory of functional analysis and involves a rich interplay between many branches of mathematics. The main theme of this project is the study of the representation and stability of some important classes of nonlinear mappings in Banach spaces. We will combine classical analysis method with the method in study of approximate isometries and additive mappings to consider the following problems:.(1) the properties of nonsurjective approximate isometries and their representation;.(2) the representation and stability of approximate additive mappings;.(3) extending the stability theory of isometries to some general nonlinear mappings (such as Lipschitz mappings, Holder mappings);.(4) the relation between the stability of nonlinear mappings and the structure of Banach spaces.

Banach空间中非线性映射的研究范围非常广泛，包括等距映射，Lipschitz映射，Holder映射，一致连续映射等重要的非线性映射，它的研究涉及多个数学分支，是泛函分析空间理论研究的重点内容。本项目通过对几类重要非线性映射的研究，来讨论非线性映射的表示与稳定性问题。我们将非线性映射的经典分析方法，与研究逼近等距映射及可加映射稳定性的方法有机结合起来，探讨和解决如下问题：.（1）非满逼近等距映射的性质及其表示问题；.（2）逼近可加映射的表示及其稳定性问题；.（3）把逼近等距映射的稳定性理论推广到更一般的非线性映射上（如Lipschitz映射，Holder映射等）；.（4）非线性映射的稳定性与Banach空间结构之间的联系。

在本项目中，我们研究了Banach空间中几类非线性映射的性质、表示及稳定性等问题，主要得到以下结果：..(1)我们给出了Banach空间中ε-等距映射弱稳定性公式的最优估计，并举例说明这一估计是可达的。利用这一结果，我们将关于非满ε-等距的一些前期结果进行了优化，进而得到了这些结果的最优估计形式。.(2)我们引入了一类称为加范环同构的映射，并给出了连续函数空间中加范环同构映射的表示定理，这一结果推广了经典的Gelfand–Kolmogoroff定理。.(3)我们证明了连续函数空间一致乘法子群中的保范乘法映射可表示为复合算子的形式。.(4)我们给出了一致代数上一类非线性映射与复合算子的逼近不等式，并举例说明这一不等式的估计常数是最优的。.(5)我们研究了极大正连续函数子群中范数可加映射的性质，证明在满射的条件下，范数可加映射可表示为复合算子的形式。..这些研究成果一方面丰富了Banach空间中非线性映射表示及稳定性理论；另一方面，也为相关领域的研究提供了新的工具及思路。