微分结式理论及其在微分方程求解中的应用

As the wide applications of symmetry group theory and method in solving differential equations, we need further systematically analyze and grasp symmetry properties, especially determine symmetry existence and classification of partial differential equations (PDEs). This research concentrates on the theory of differential resultant(DR) and differential characteristic set (DCS) method, and studies mechenical algorithm for symmetry determination and classification. We first discuss properties of DR and efficient algorithm for computing DR, then apply it to solve symmetry determination in terms of the relation between DR and differential polynomials. Secondly, we combine DR and DCS to study mechanical algorithm of complete symmetry classification for more general PDEs to overcome the common defects and difficulties of current algorithms. Finally, using the introduced theories and algorithms, we study symmetry determination and complete symmetry classification for a class of nonlinear PDEs in finance and discuss some important models of the results and their applications. This project will enrich DR theory and develop DCS method, and provide a new way for the problems of symmetry determination and classification.

随着对称群理论和方法在微分方程(组)求解中的广泛应用，人们需要更加深入系统地分析和把握对称的性质，特别是关于偏微分方程(组)(简记PDEs)对称存在性的判定及分类问题。本项目旨在发展微分结式理论和微分特征列方法，研究PDEs对称的判定和完全对称分类的机械化算法和理论。探讨微分结式的性质和计算微分结式的高效算法，利用微分结式和微分多项式系统之间的关系解决PDEs对称的判定问题。针对现有对称分类算法的缺陷和难点，将微分结式理论与特征列方法结合，探索适合于更广泛PDEs对称分类的机械化算法。利用上述理论和算法，研究金融领域中一类非线性PDEs对称的判定和完全分类问题，并讨论分类结果中一些重要模型的求解及应用。项目的实施，将丰富微分结式理论和发展微分特征列方法，并为PDEs对称的判定和分类问题提供一个新的解决途径。

对称群理论是研究偏微分方程组（简记PDEs）性质、构造PDEs精确解和守恒律的一个重要手段。对称群的获得，即一个超定偏微分多项式系统的求解问题，是困扰对称群理论发展的主要障碍之一。.本项目以微分结式和微分特征列理论和算法为基础，在已有前期对称计算方法的研究基础上，研究了PDEs对称分类和对称存在性的判定问题，并拓广理论方法在数学物理等领域中重要PDEs上的应用范围，取得良好的学术成果，发表SCI检索论文9篇，主要研究成果如下：初步建立特殊情形下的偏微分多项式系统的微分结式理论，完善稀疏差分结式的理论和算法，并将算法在计算机上实现；完善扰动PDEs近似自伴随性的相关理论和算法，并将其应用到扰动PDEs近似守恒律的构造问题中；证明PDEs非线性自伴随性所需的微分替换即为PDEs所允许的伴随对称，并研究守恒律乘子的存在性问题，同时研究几类PDEs对称分类、守恒律构造及精确解构造问题。.本项目是数学机械化与数学物理的交叉项目。项目的实施，将为PDEs对称判定和分类问题提供一个新的解决途径，同时促进微分结式理论和微分特征列方法在PDEs中的应用。项目研究内容、方法、思路和成果都具有一定的学科前沿性和原创性。