稀疏微分结式理论及其在偏微分方程相关问题中的应用

Differential characteristic set (DCS) method provides a strong algorithmic guarantee for the widely applications of symmetry group theory to the problems associated with partial differential equations (PDEs). However, it is particularly urgent to extend classical DCS method to solve the deeper problems emerged in the rapid development of symmetry group theory. This project will develop the theories of sparse differential resultant (SDR) and DCS for partial differential polynomials, then with them to further study symmetry extension and symmetry determination about nonlinear PDEs, and to explore solutions of the open problems. We study existence conditions, properties and high-efficiency algorithms for the differential resultant and SDR of partial differential polynomials, and then solve the problem of symmetry determination by means of the connections between SDR and the zero set of partial differential polynomials. For the defects and difficulties of current algorithm, we combine SDR and DCS to study mechanical algorithm of symmetry extension problem for the more generalized PDEs and perform the algorithm on a computer. The implementation of this project will preliminarily build the SDR theory for the partial differential polynomials, and form a complete system of determination-extension-computation-solving for the problems of symmetry of PDEs, and also contribute to the further intersection and merge of mathematical physics, differential algebraic, mathematics mechanization and associated subjects.

微分特征列方法为对称群理论在偏微分方程(组)(简记PDEs)相关问题中的广泛应用提供了强有力的算法保证。然而对称群理论快速发展的同时也出现了一些更加深刻的问题，这些问题的解决迫切需要扩展经典的微分特征列方法。本项目将发展偏微分情形下稀疏微分结式和微分特征列理论，并以此为基础深入研究非线性PDEs对称扩充和对称判定问题的机械化理论和算法，探索解答公开问题。研究偏微分情形下微分结式和稀疏微分结式的存在条件、性质和高效算法，利用稀疏微分结式和偏微分多项式系统零点集之间的关系解决对称判定问题；针对现有对称扩充算法的缺陷和难点，结合稀疏微分结式与微分特征列方法，研究适合于更广泛PDEs对称扩充的机械化算法，并在计算机上实现。项目的实施，将初步建立偏微分情形下稀疏微分结式理论，并为PDEs对称问题形成从判定-扩充-计算-求解的完整体系，同时促进数学物理、微分代数与数学机械化等学科的进一步交叉融合。

微分方程是刻画自然科学和社会科学领域中重要模型的有效工具，同时对称群和守恒律理论为微分方程的性质研究和精确解构造提供了强有力的理论和算法支撑，然而对称确定方程组的求解问题一直是困扰对称群理论发展的主要障碍。尽管微分特征列方法为该问题的解决提供了有效的算法保证，但对于复杂偏微分方程（PDEs)仍然有很大的提升空间，对于分数阶PDEs还没有合适的框架。.本项目在前期已有对称计算方法的基础上，结合微分特征列理论，深入研究偏微分多项式系统的微分消元理论和算法，并解决了一些含参数PDEs和分数阶PDEs的对称扩充、对称判定以及守恒律的存在性及构造问题，取得较好的学术成果，项目组成员在国内外高水平期刊杂志发表学术论文16篇，主要研究成果如下：完善了常差分情形下稀疏差分结式的构造性算法的复杂度分析，并将算法应用到实际问题；在代数偏微分多项式系统方面，完成了一类不可约偏微分簇的相交理论，并定义了偏微分周形式，同时证明了类似于常微分情形下的一些性质；利用微分结式研究了单有理微分曲线和微分参数化问题；研究一类常微分差分方程的消元理论；给出一类非线性演化方程Lax对的不变流形中微分阶数的上界，进而在理论上可以获得不变流形的所有分类；给出偏微分方程守恒律的一个存在条件及构造算法；给出一类(1+1)维分数阶PDEs的局部对称结构及可线性化条件；研究高维分数阶PDEs的局部对称结构，并首次建立对应的势对称框架；研究了Fokker-Planck方程、广义的对流Cahn-Hilliard方程、泡沫排放方程以及分数阶生物人口模型的对称性质及精确解构造问题；.项目的实施，进一步完善了常微分（常差分）情形下的稀疏微分（差分）结式理论和算法，发展了偏微分差分多项式系统的消元理论，并将结果应用PDEs的对称群和守恒律理论，拓展到分数阶PDEs情形。上述的研究成果将促进数学物理、微分代数与数学机械化等学科的进一步交叉融合。