Alexandrov空间等变的稳定性定理及其在塌陷理论中的应用

We plan to study stability of group actions on Riemannain manifolds which equivariantly converge to an Alexandrov space, and apply the tools to collapsing theory of Riemannian manifolds with a lower curvature bound. In recent years, the convergence and collapsing theory in Riemannian geometry has been a powerful tool for studies of structures of manifolds. In case of two-sided sectional curvature bound, the theory had played a significant rool in the topological classification of manifolds. Establishing a collapsing theory in the case of lower curvature bound will also provide importent tools for study of the topology of manifolds with lower curvature bound,so this research has important theoretical significance and application prospects. The applicant has done some work on collapsing construction with nilpotent structures while keeping its curvature bounded. We will continue to study the existence of nilpotent structures on collapsed manifolds with lower curvature bound. We study the following three questions: 1. Study the existence of symmetric structures on collapsed Riemannian manifolds with curvature bound below, e.g. the existence of nilpotent structures on manifolds with almost nonnegative curvature. 2. Study the stability of group actions on Riemannian manifolds which equivariantly converge to an Alexandrov space, e.g. generalizing covering space method to pseudo Lie group actions and perturbation of orbits of the pulled-back torus action. 3. Study collapsing of Riemannian manifolds satisfying some special conditions with curvature bounded below, e.g. collapsing construction on manifolds that carries a boundle structure, and study restrictions imposed on a manifold which collapses with positive sectional curvature.

本项目计划研究黎曼流形等变收敛到Alexandrov空间的群作用稳定性，并将其应用到黎曼流形曲率有下界的塌陷理论中。近年来，黎曼几何中的收敛与塌陷理论已经成为研究流形结构强有力的工具。在曲率两边有界的情形，该理论在黎曼流形的拓扑分类中起到了重要作用。故建立曲率有下界的塌陷理论，也会成为研究曲率有下界流形的拓扑的重要工具，从而具有重要的理论意义和应用前景。本人曾在曲率有界时幂零结构的塌陷方面做了一些工作，在此基础上将继续研究曲率有下界塌陷时幂零结构的存在性。研究如下问题：1.研究黎曼流形保持曲率有下界塌缩时对称结构的存在性，如研究几乎非负曲率流形上幂零结构的存在性；2.研究黎曼流形等变收敛到Alexandrov的群作用稳定性，如推广覆盖空间方法以及对拉回环面轨道做微扰；3.研究一些满足特殊条件的黎曼流形保持曲率有下界的塌陷，如具有丛结构的流形上的塌缩构造，以及黎曼流形保持正曲率塌缩的条件。

塌陷理论研究一列黎曼流形满足截曲率的有界性条件，且在Gromov-Hausdorff意义下收敛到极限Alexandrov空间X。若X的维数小于流形的维数，则称这列流形是塌陷的。塌陷理论主要研究塌陷流形的几何与拓扑结构之间的关系。. 研究内容为收敛与塌陷理论的以下三个问题：.1、保持曲率有下界塌陷的黎曼流形上对称结构的存在性。. 首先，本人研究了黎曼流形以及极限空间上的等距群作用理论。同时，自2012年到2015年本人和同行讨论、学习了一些李群、李代数的知识。.为解决问题（1）中拉回群作用的轨道平均问题，我研究了问题：.2、黎曼流形等变收敛到Alexandrov空间的群作用稳定性问题，如质心方法对轨道微扰的应用，覆盖空间方法的推广等。.首先，我研究了Alexandrov空间在GH-收敛时弱strainer的稳定性。其次，本人研究了解了几类质心构造方法以及覆盖空间方法。再者，我也研究了度量空间上的一些分析工具。. 在此基础上，我研究了以下推广的塌陷理论问题：.3、一些满足特殊条件的黎曼流形上保持曲率有下界的塌缩。. 首先，我研究了极限空间上类似于纤维化结构，如submetry映射的几何。其次，我研究了Cheeger-Colding理论，以及广义Ricci曲率的定义。再者，从2015年至今，本人还参加讨论班，与同行讨论、学习了一些辛几何的知识。. 我的研究成果主要为以下两方面：. 第一，我研究了Alexandrov空间一些几何结构的稳定性。我定义了Alexandrov空间上弱的strainer，并利用半凹函数以及收敛理论的工具，证明了具有几乎最大间距弱strainer的Alexandrov空间几何等距于球面，这推广了Alexandrov空间的几乎等距球定理。另外，我还给出了Alexandrov空间在一点处正则性的三个等价条件。以上结果已被SCI期刊《Indiana University Mathematics Journal》录用待发表。. 第二，我给出了Alexandrov空间的几乎等距球定理的一个新的证明。以上结果已整理成文，投在国际期刊，目前在审。. 以上结果对于进一步研究黎曼流形曲率有下界塌陷极限空间上的几何与分析工具，从而对研究塌陷流形上的对称结构存在性提供了重要的基础性工作。