度量空间上的分析及其在函数空间中的应用

The theories of harmonic functions and heat kernels, Riesz transforms and function spaces, play important roles in harmonic analysis. Moreover, these thoeries have important applications in partial differential equations, geometric analysis and mathematical physics. The applicant and cooperators have studied harmonic functions and regularity of solutions to the Laplace equations on metric spaces with lower curvature bounds, and further used these theories to the study of isoperimetric inequality and Sobolev inequality. Moreover, the applicant and cooperators have studied Orlicz-Hardy spaces associated with different operators in different backgrounds, Poincare inequality on doamains and the relations between the geometric property of domains in Euclidean spaces and regularity of solutions to the divergence equation. In this project, we plan to continue the study of theories of harmonic functions and heat kernels on metric spaces with lower curvature bounds, and apply these theories to study boundedness of Riesz transforms on metric spaces. Furthermore, we will use these theories to non-Lipschitz domains and non-smooth submanifolds in Euclidean spaces, to study Hardy-Sobolev spaces over them, regularity of solutions to the Laplace equations with boundary values, and boundedness of Riesz transform associated with these operators.

调和函数与热核理论、Riesz变换及函数空间理论是调和分析的重要组成部分， 这些理论在偏微分方程、几何分析及数学物理等方向都有着重要的应用. 申请人及其合作者近年来研究了具有曲率下界的度量空间上的调和函数与Laplace方程，并将这些理论应用到等周不等式和Sobolev不等式的研究中；此外，申请人与合作者还研究了在不同背景下、相关于不同算子的Orlicz-Hardy空间理论、区域上的Poincare不等式及区域的几何性质与散度方程解的正则性之间的关系. 本项目拟进一步发展和完善具有曲率下界的度量空间上的调和函数和热核的正则性理论, 并应用这些理论来研究度量空间上的Riesz变换的有界性. 此外，还将应用这些理论到欧氏空间中非Lipschitz区域以及非光滑子流形上, 研究其上的Hardy-Sobolev空间理论,带边值问题的Laplace方程解的正则性以及相应的Riesz变换的有界性.

调和分析为现代分析提供了解决问题的基本工具，其在偏微分方程和几何分析等领域都有着重要的作用。在该项目中我们应用调和分析的基本工具研究度量几何中的调和函数、热核、等周不等式，以及微分方程中的输运方程、散度方程都问题。 在项目的资助下, 我们已经(含接受)发表SCI论文16篇, 其中所发杂志包括J. Math. Pures Appl.( 2篇), Calc. Var. PDEs, J. Funct. Anal., J. Differential Equations(2篇)等杂志。此外, 项目负责人获得教育部自然科学二等奖(第四完成人)。 .具体研究内容包括：项目计划中的:1)具有曲率下界的度量空间上的调和函数和热核的正则性理论, 2)究度量空间上的Riesz变换的有界性，3)区域上的Hardy-Sobolev空间理论；在此计划之外, 我们还研究了4)输运方程、5)常微分方程、6)散度方程、7)Korn不等式、8)分数次Laplace方程。.具体地，在项目资助下，我们主要在以下几个方面取得了研究进展及成果：1) 建立了具有曲率下界的度量空间上的调和函数和热核的正则性理论; 2) 建立了有曲率下界的度量空间上Riesz变换的有界性；3)在一般的强Lipschitz区域上建立了Hardy空间及Hardy-Sobolev空间理论；4）在临界条件下输运方程解的存在性和唯一性、5) 在临界条件下常微分方程解的存在性、唯一性和正则性、6) 平面上单连通区域上散度方程解的存在性与区域的几何性质的等价刻化、7) 一些非光滑区域上Korn不等式、8)分数次Laplace方程解的性质(爆破点维数估计)。.在项目资助下，项目负责人曾获欧盟Marie-Curie基金资助访问西班牙巴塞罗那自治大学一年，并先后20余次获邀访问国内外学术机构或在学术会议作报告。