不定谱问题及位涡动力系统稳定性的研究

We study spectral problems of a special non-symmetric operator -indifinite Sturm-Liouville operator and apply the results to the stability of potential vorticity dynamics(PVDs) in geophysical fluid dynamics(GFDs). In this program, a number of theories: the spectral theory of (non)self-adjoint operators, perturbation theory, theory of complex functions and some new methods are applied including the methods of muti-parameter, locally symmetric transformation and analytic extension. We hope to obtain some new results on the location of eigenvalues and continuous spectrum, the asymptotic behavior estimation of eogenvalues and the location of zeros of eigenfunctions, especially the existence of non-real eigenvalues. With the aid of these results, we will set up some new stability or instability criteria of PVDs. Futhermore, we focus on the study of the number of instability modes and the estimation of the maximal instability mode. The work in this program will help us to understand more about the spectral properties of non-symmetric operators and find out some new methods to study the spectral properties of non-self-adjoint operators.

微观和宏观的非对称力学现象远比相应的对称力学现象广泛得多，但是其研究较少且很不彻底，原因是对非对称算子的谱理论缺少系统有效的方法。本项目将研究一类特殊的非对称算子-不定Sturm-Liouville算子的谱问题，并将所得的新成果应用到地球流体力学中的动力系统的稳定性研究中。本项目将联合使用自伴算子理论、非自伴算子谱理论、算子扰动理论和复变函数理论， 利用多谱参数方法、局部对称变换方法和解析开拓方法等一系列新的方法建立不定谱问题的特征值位置判定、渐近分布估计、特征函数的零点分布和连续谱的一系列新结果， 进而获得位涡动力系统在非光滑连续基流速度场下的稳定和失稳结果，得到不稳态的存在性及界的估计。项目组主要成员多年研究哈密顿微分系统的谱理论，有坚实的工作基础。我们将广泛使用哈密顿微分算子理论，建立判定或计算对称和非对称算子各类谱点的新方法。

大量物理试验和自然现象会产生非对称或非自伴谱问题，而对于这类谱问题的研究至今尚未形成类似于自伴算子那样完备的理论体系，这就需要在数学理论上不断发展和完善非自伴算子谱理论。.本项目首先研究一类权函数变号的特殊非对称谱问题——不定Sturm-Liouville特征值问题。利用解析函数以及算子的扰动理论，结合双谱参数方法，本项目将建立谱曲线与非实特征值之间的关系，分别利用谱曲线的几何性质和代数性质，得到不定问题非实特征值存在的充分条件及存在个数的估计。并且，应用分析与测度论的方法及Krein空间理论，仅仅在系数函数满足可积性条件下，得到不定Sturm-Liouville谱问题非实特征值上、下界的估计。从而解决了Mingarelli于1986年提出的关于不定问题非实特征值存在性的问题。.其次，本项目利用上述不定谱问题的研究方法和结论，对地球流体力学中位涡动力系统不稳性问题进行研究。地球流体力学中位涡动力系统不稳态的刻画，被转化成不定Sturm-Liouville谱问题非实特征值存在性问题。利用不定问题非实特征值存在的充分条件和存在个数的估计，本项目在流体不光滑且不满足对称条件时，给出位涡动力系统存在不稳态的充分条件，及不稳态存在的确切个数，从而将丰富了动力系统稳定性研究的理论基础。