非局部Sturm-Liouville谱问题及相应极值问题的研究

We study the properties of eigenvalues and eigenfunctions for the spectral problems of nonlocal Sturm-Liouville differential operators, and apply these results to the reserch of the corresponding extremal problems for the integral norms of the (nonlocal) potentials and weight functions. This problem is closely related to the nonlocal inverse spectral problem. We will obtain the extremum of the integral norms of the (nonlocal) potentials and weight functions, generalize the famous Lyapunov inequality to the nonlocal cases and solve extremal problems of eigenvalues. The series results can be applied to the investigation of the existence, stability and dynamic behaviors of the solutions for nonlocal and nonliear problems.

本项目将研究含有非局部势函数的非局部Sturm-Liouville微分算子谱问题中的特征值、特征函数的一系列性质，并将结果应用到该非局部谱问题所产生的极值问题的研究中，包括（非）局部势函数的极值问题和权函数的极值问题。此问题与非局部Sturm-Liouville特征值问题的逆谱问题密切相关. 我们将得到在有限谱信息条件下（非）局部势函数和权函数积分模的极值定量表示式及其可达性，推广经典的Lyapunov不等式， 解决特征值的极值问题。结果可以广泛应用到非局部微分方程定解问题解的存在性、稳定性及其动力行为的研究。本项目团队长期致力于微分算子谱理论的研究，曾成功解决1987年J. Weidmann 提出的关于本质谱存在的问题和Mingarelli 1986年提出的非实特征值存在及估计问题。

本项目研究目标是通过研究（非）局部势函数的Sturm-Liouville微分算子谱问题中的特征值、特征函数的一系列性质，找到非局部微分算子与通常的微分算子谱理论的本质区别，并将结果应用到谱问题所产生的极值问题中，包括（非）局部势函数的极值问题和权函数的极值问题，即在有限谱信息下方程系数函数的最优恢复问题。这是一个与经典逆谱问题不同的新的逆谱问题。在项目实施过程中，研究团队解决了含分布权的Sturm-Liouville问题的特征值的个数判断及优化问题、奇异不定问题非实特征值存在问题及其界的估计，研究了弦振动方程前两个特征值的间距和比值之间的关系，得到了特征值间距最优化的定量估计， 讨论了不定弦方程关于权函数的极值问题并得到权函数的最优化估计，建立了非局部势Sturm-Liouville方程的振动性结果并给出了一类非局部二阶奇异Sturm-Liouville方程的亏指数分类，提出了并建立了S-L问题中特征值关于势函数的一致局部连续性问题，研究了拟周期波算子的纯点谱性质。上述结果的获得，不但对经典的S-L问题的谱理论做了有意义的丰富和发展，为微分方程定解问题解的存在性、稳定性及其动力行为的研究提供充分的基础理论工具，这些结果不但在KAM理论、生物数学、动力系统的研究中得到广泛应用，同时也为我们进一步研究有限谱信息条件下势函数或权函数的恢复问题打下了坚实的基础。