一类浅水波方程组的定性研究

The shallow water system is one of the important mathematical models which describes the motion of shallow water, it attracts many researchers'' interest. We are interested in the qualitative research for a class of shallow water system in this project. One is to discuss the necessary and sufficient condition to guarantee the blow-up phenomenon for the two-component Camassa-Holm system, the profile of solution when it blows up and persistence properties will also be investigated. The other one is concerned with the blow-up criteria and global existence for a modified two-component Camassa-Holm system. These work will not only enrich the mathematical theory of shallow water, but also promote the development of related subjects.

浅水波方程组是一类很重要的刻画水波运动的数学模型，它吸引了许多研究者的兴趣。本项目主要针对一类浅水波方程组做一些定性的研究。一是讨论两个分量的Camassa-Holm方程组解爆破的充分必要条件、解爆破时的形态、解的持续性质等；二是研究修正的两个分量的Camassa-Holm方程组解的爆破条件和全局存在性。这些工作不但可以丰富浅水波的数学理论，而且对相关学科的发展亦有推动作用。

浅水波方程组是一类很重要的刻画水波运动的数学模型，波爆破现象是数学家、物理学家乃至工程技术人员都非常关心的问题。在国家自然科学基金的资助下，课题组认真踏实地开展工作，发表SCI论文5篇，取得的成果之一就是具体给出了波爆破的一系列条件来刻画爆破现象(成果2)。同时，在课题组前期工作的基础上，为了获得方程组解在动量紧支集上的更多信息，我们给出了该紧支集大小的一个估计(成果2)，这为研究方程组的解在该集合上的行为奠定了基础。此外，在我的指导下，课题组的两名研究生对一类两个分量的浅水波模型也做了一些有意义的研究工作，给出了富有意义的波爆破的充分条件（成果3,4,5），部分结果恰好可以和Mckean关于Camassa-Holm方程波爆破的充要条件相比较，从而获得更好的解释。此外，浅水波方程可以看成是无粘的Navier-Stokes方程组在低维的近似模型，基于这一点，课题组在该项目的资助下，进一步讨论了Navier-Stokes方程定常解的存在性和衰减估计，得到了强解的渐近刻画（成果1）。