Camassa-Holm型方程组的一些定性研究

The Camassa-Holm type system is one of the important mathematical models describing the motion of fluids, it has attracted many researchers' interest. We in this project focus on the qualitative studies for a class of Camassa-Holm type systems. One is to discuss the blow-up criteria and necessary and sufficient condition to guarantee the wave breaking phenomenon for the Camassa-Holm equation with two separate variables,the profile of solution when blow-up occurs, persistence properties, large time behavior of momentum support and suitable weak solutions will also be investigated. The other one is concerned with well-posedness, regularity problem and asymptotic stability for the higher-dimensional Camassa-Holm equations. These research will enrich the mathematical theory of fluid flow, moreover, it will provide theoretical support for the scientific experiments and engineering practice.

Camassa-Holm型方程组是一类重要的刻画流体运动的数学模型，吸引了许多研究者的兴趣。本项目主要研究一类Camassa-Holm型方程组的定性性质。一是讨论含有两个分量的Camassa-Holm 方程组解的爆破准则、爆破的充分必要条件、波爆破时解的形态、解的持续性质、动量紧支集的大时间性态以及弱解的整体行为等；二是研究高维的Camassa-Holm方程组解的适定性、正则性以及渐近稳定性等。这些工作将极大地丰富流体运动的数学理论，为科学实验与工程实践提供理论支撑。

Camassa-Holm浅水波方程以及高维带粘性的Camassa-Holm方程组是一类重要的刻画流体运动的数学模型。本项目主要针对这些非线性方程或者方程组开展一系列定性研究。考虑了两分量的Camassa-Holm型浅水波方程组的爆破问题，给出了保证Cauchy问题解在有限时间内发生爆破的新的条件，同时证明了两分量Camassa-Holm型方程组的解在Sobolev空间中的局部适定性，巧妙地运用两个守恒量建立了若干新的爆破准则。考虑了非线性更强的一类可积方程，给出了具有代数衰减的初始值时问题解的渐近刻画，发现在这一条件下解具有可持续的性质，并给出了整体解动量支集大小的一个估计，研究了在初始动量具有紧支集且非负的条件下解的渐近行为，通过分量变量的形式给出了解的渐近表达式，讨论了解在带权的Sobolev空间中的持续性质，建立了新的爆破准则。在高维流体方程弱解的正则性问题方面，考虑了经典的不可压Navier-Stokes方程Leray-Hopf弱解的Serrin型的正则性条件，给出了近乎最佳的条件，同时通过对流体旋度的研究，借助高低频分解的技术建立了新的正则性准则。此外，对与高维粘性的Camassa-Holm型方程组密切相关的流体模型也进行了一定的研究，如MHD方程，Boussinesq方程等。当压力项满足一定的可积性或可积条件只限制在速度场的某个分量上时，我们给出了MHD方程弱解新的正则性准则。对Boussinesq方程组弱解的正则性问题，主要考虑在一类齐次的带有负指标的Besov空间中的正则性条件，同时注意到当把压力与温度变量相结合时可以得到更好的结果。