一类两分支非线性浅水波方程的若干问题研究

研究包含Camassa-Holm 方程和Degasperis-Procesi 方程为其特殊情形的b 族方程初值问题和初边值问题的局部适定性，相应强解的爆破机制和强解的爆破，强解的整体存在性，整体弱解的存在性和唯一性，以及研究 peakon 解和激波解的轨道稳定性；研究two-componet b 族方程初值问题和初边值问题的局部适定性，整体弱解的存在性和唯一性，以及研究 peakon 解和激波解的轨道稳定性。

水波理论的研究是过去200多年间的热点问题。2000年 Clay 研究所公布21世界的七个“百万问题”，描述流体运动的著名方程 Navier-Stokes 方程赫然是其中之一。一方面，描述浅水运动的方程是Euler方程在浅水波范围的逼近方程；另一方面，浅水波模型既能描述波的破裂现象，又能描叙孤立子现象。因此，对浅水波问题的研究就具有很重要的理论意义。. 本项目研究了几类非线性浅水波模型的一些性态，主要包括适应性、强解的爆破和整体存在性以及整体弱解的存在性和唯一性等。在本项目的支持下，我们完成了项目的研究目标，提出了一些新的方法和观点，主要获得了以下几个方面的成果。 (1) 完善了修正 Camassa-Holm（修正CH）方程强解的爆破结果。Camassa-Holm （CH）方程和其相关的浅水波模型，当初始动量变号时，奇异性仍会以波的破裂的形式产生。和已知的研究结果相比，我们的研究结果不仅表明修正 CH 方程当初始动量变号时，波的破裂现象仍可能会发生；而且，通过技术和方法的改进，我们改进了别的研究团队获得的结果。(2) 提出了带有色散项修正 CH 方程强解的爆破结果。浅水波模型当色散项不为零时，由于沿着特征线动量恒为常数这一守恒性质不再成立，现有的技术方法无法解决强解的奇异性形成这类问题。通过技术方法的改进和革新，构造新的守恒量和估计，我们成功获得了带有色散项修正 CH 方程强解的爆破结果。(3) 建立了浅水波模型爆破的“局部”准则。CH 方程及其相关模型当初值满足特定条件时能形成奇异性，并且奇异性只能以波的破裂的形式产生。然而在奇异性形成的分析中，都要用到它们本身具有的守恒率性质，这些守恒率往往由模型的“整体”性态来决定。由最新的研究结果启发，我们成功建立了修正 CH 方程强解的“局部”爆破准则，这一结果取消了初值对“整体”性态的依赖。（4）建立了修正 CH 方程强解的不适应性问题。当初始动量的正则性较低时，我们证明了修正 CH 方程强解在适当空间的不适应性问题，并且不适应性是因解对初值不连续依赖而造成。. 通过本项目的研究，我们获得了一些新的研究思路和研究方法，而且得到了与浅水波模型相关的水波模型的一些理论研究结果。这些方法和结果，可用于解决项目后续的两分支浅水波模型和Euler方程的相关问题。