基于连续三角模的模糊序与模糊拓扑

The BL-logic (Basic Logic) established by the Czech mathematician Petr Hajek is a great success of fuzzy logic, and a milestone in fuzzy set theory. BL-logic is essentially a many-valued logic based on continuous triangular norms. This project explores fuzzy order and fuzzy topology based on continuous triangular norms, i.e., order and topology that correspond to BL-logic. The aim is to establish a theory of quantitative domains that focuses on the interrelationship between order and topology based on continuous triangular norms. The topics include fuzzy topology based on continuous triangular norms, fuzzy Scott topology and fuzzy Scott cotopology of fuzzy partial orders, and etc. This investigation will facilitate the fusion of fuzzy logic and other branches of mathematics based on fuzzy sets, and enhance our understanding of the role of many-valued logic in mathematical practices.

捷克数学家Petr Hajek建立的BL-逻辑（Basic Logic）是模糊逻辑的重要成就，模糊集理论的里程碑。BL-逻辑本质上是基于连续三角模的多值逻辑。本项目探索基于连续三角模的模糊序与模糊拓扑，亦即与BL-逻辑相应的序与拓扑。项目目标是建立以基于连续三角模的模糊序与模糊拓扑的内在联系为核心内容的量化domain理论。研究内容包括基于连续三角模的模糊拓扑、模糊偏序集的模糊Scott拓扑和模糊Scott余拓扑等。本项目的完成将促进模糊逻辑与其它基于模糊集的数学理论的融合，也有助于我们认识多值逻辑在数学实践中的作用。

本项目围绕基于连续三角模的序与拓扑理论中的几个基本问题展开研究，完成了研究计划，发表了研究论文10篇，所获结果展示了模糊序、模糊拓扑、真值表的逻辑结构之间的内在联系。 项目期间，两名研究生获得博士学位，四名研究生获得硕士学位。项目期间获得的重要结果列述如下。.（1）在approach空间中引入了紧函数的概念，这类函数类似于拓扑空间中的紧子集。利用紧函数我们建立了approach空间的Hofmann-Mislove定理，即一个sober approach空间的非空饱和紧函数构成的拟度量空间对偶同构于它的上正则函数集的实值开真滤构成的拟度量空间。.（2）Lowen引入的饱和预滤函子是否是集合范畴上的monad？每个模糊完全分配格是否是模糊连续格？模糊拓扑和模糊序结构理论中的这两个重要问题都依赖于真值表的逻辑结构。若真值表是单位区间，合取运算是一个连续三角模，我们证明了下列等价：（i）该三角模的蕴涵算子在对角线之外处处连续。（ii）每个模糊完全分配格是模糊连续格。（iii）模糊序范畴上的协变预层monad对不可约理想monad分配。（iv）饱和预滤函子是集合范畴上的monad。.（3）若真值表是单位区间，合取运算是一个连续三角模，并且该三角模的蕴涵算子在对角线之外处处连续，则断言内射T0拓扑空间范畴与连续格范畴同构的Scott定理的多值版本成立当且仅当该蕴涵算子满足二次否定律。.（4）任给有单位元的交换的quantale Q，我们利用Q-模范畴和Q-拓扑空间范畴之间的一对伴随函子，引入了Q-值拓扑空间的sober性的概念，并将其应用于量化domain理论的研究。.（5）在模糊集理论中，二次否定律一般不成立，不相似关系不能简单地描述为相似关系的补关系。对任意给定的带有对合对应的quantale Q，我们利用Q的反对角线构成的quantaloid，给出了Q-值不相似性的公理化描述：一个不相似关系就是该quantaloid上的一个强化范畴。我们证明了，若Q是一个交换的quantale并且单位元是最大元，则不相似性与相似性可相互转换的充分必要条件是真值表满足二次否定律。