模糊集上的序与拓扑理论

本项目主要研究以模糊集合作为承载集的多值序与多值拓扑理论。首先，在模糊集合的逻辑值域为一个交换的有单位元的quantale的情况下，以模糊集合为承载集的多值序结构等价于quantaloid上的强化范畴。因此，可以借用quantaloid上的强化范畴理论为我们研究序结构理论开辟新途径。其次，由于经典集合上的模糊序结构理论可以用于讨论经典集合上的多值拓扑，我们希望模糊集合上的多值序也可以用于讨论模糊集合上的多值拓扑。一个自然的想法是研究模糊集合的幂集及其序结构，然后在模糊集合上引入拓扑结构，建立模糊集上的拓扑理论。

本项目主要研究模糊集合上的序结构和拓扑结构. 由于模糊集合上的序结构实际上是一种特殊的强化范畴, 我们采用了强化范畴的基本理论和方法作为研究的出发点, 取得了一系列的成果, 完成了大部分研究任务. 首先, 我们改进推广了从一个quantale出发构造一个quantaloid的方法. 按照这样的构造方法, 使得模糊集合上的序结构恰好就是对应的quantaloid上的强化范畴. 其次, 在序结构理论方面, 主要研究了两个方面的内容. 其一是模糊集合上的模糊序整体化之后得到分明集合上的模糊序, 该过程是一个函子, 它保持某些类型的余完备性, 包括标准的余完备性, tensor余完备性, Cauchy完备性和Flat余完备性. 同时还证明了整体化函子不保持锥形余完备性.该部分研究表明, 模糊集合上序结构的一些类型的余完备性与分明集合上的序结构的相应类型的余完备性紧密相关. 其二是一些特殊类型的模糊序构成的范畴的Cartesian闭性. 我们先从比较简单的情形入手, 即所有元素都是global的模糊偏序集. 这实际上是分明集上的模糊序. 但这种情形已经远比经典的偏序集复杂. 由于quantale上的逻辑合取运算不必是幂等的, 导致所有分明集合上的模糊序构成的范畴不必是Cartesian闭的. 这为进一步的研究带来困难. 我们转而研究了liminf完备的模糊偏序集构成的范畴是monoidal闭的. 另外, 证明了在取单位区间上的连续三角模的时候, 该范畴是Cartesian闭的当且仅当三角模是幂等的. 最后, 在模糊拓扑理论方面, 利用强化范畴中的基底变换方法, 构造了分明集合上的模糊拓扑范畴和模糊集合上的模糊拓扑范畴之间的一对伴随函子, 使得前者可以作为余反射的满子范畴嵌入到后者之中.