基于三角模的模糊拓扑向量空间研究

Fuzzy topological vector space (FTVS) is established based on fuzzy set theory which has deeply practical backgroud and it is a space structure which harmonizes and blends fuzzy topological structure with algebraic structure (linear structure) on the same carrier, while triangular norm (t-norm) is a monoid defined on the unit interval [0,1]. This project is devoted to combining t-norm with FTVS organically and establishing the theory of FTVS based on t-norm. The contents of this project are as follows: (1) the notion of FTVS based on t-norm will be proposed and it will be characterized in terms of local base and a family of fuzzy pseudo-norms, respectively. (2) two important kinds of subspaces, i.e., locally convex space and locally bounded space will be investigated and they will be characterized by a family of fuzzy semi-norms and a family of fuzzy quasi-norms, respectively. (3) the concept of fuzzy norm will be proposed and the normability theorem for the space will be established. The subject of this project is interdisciplinary. The research of this project has important theoretical significance and academic value in further enriching and developing the theory of FTVS, enlarging the application range of t-norms, and promoting mutual saturation and development of general topology, algebra and fuzzy mathematics.

模糊拓扑向量空间是以有着深刻实际背景的模糊集合论为基础建立起来的一种使模糊拓扑结构和代数结构（线性结构）在同一载体上得到协调交融的空间结构，而三角模是定义在单位区间 [0,1] 上的幺半群。本项目致力于将三角模与模糊拓扑向量空间的研究有机地结合，拟建立基于三角模的模糊拓扑向量空间理论。其主要研究内容有：(1) 提出基于三角模的模糊拓扑向量空间的概念，给出其分别借助于局部基和模糊伪范数族的刻画；(2) 研究该空间的两类重要的子空间，即局部凸空间和局部有界空间，分别利用一族模糊半范数和模糊准范数来刻画这两类空间；(3) 引入模糊范数的概念，建立该空间的可赋范化定理。 本项目研究的课题属于多学科交叉的前沿。开展本项目的研究，对于进一步丰富和发展模糊拓扑向量空间理论，扩大三角模的应用范围，促进一般拓扑学、代数学和模糊数学等学科的相互渗透和发展具有重要的理论意义和学术价值。

本项目致力于将三角模与模糊拓扑向量空间的研究有机地结合，拟建立基于三角模的模糊拓扑向量空间理论。其主要研究内容和结果如下：(1) 局部T-凸模糊拓扑向量空间。基于T-凸模糊集提出了局部T-凸模糊拓扑向量空间的概念，研究了局部T-凸模糊拓扑向量空间的性质。此外，利用一族满足T-凸性条件的模糊伪范数刻画了局部T-凸模糊拓扑向量空间。(2) 概率范数与模糊范数间的联络。证明了概率范数与模糊范数之间可以相互生成且在一定的条件下，他们之间可以建立一一对应的映射。(3) 由概率范数生成的模糊拓扑。在概率赋范空间中，构造了一种模糊拓扑，证明了带有该模糊拓扑的概率赋范空间既是局部凸又是局部有界的模糊拓扑向量空间。(4) 格值拓扑向量空间中线性序同态的有界性。提出了格值拓扑向量空间中线性序同态有界性的新定义，建立了在线性序同态族一致有界性的新定义意义下的一致有界原理。(5) L-fuzzy有界集的刻画和性质。将经典拓扑向量空间中有界集的一些等价刻画和性质推广到了格值拓扑向量空间中的L-fuzzy有界集上。(6) 模糊囿空间的构造。提出了模糊囿空间的概念，给出了构造模糊囿空间的两种方法。 . 这些研究结果的取得对于进一步丰富和发展模糊拓扑向量空间理论，扩大三角模的应用范围，促进一般拓扑学、代数学和模糊数学等学科的相互渗透和发展具有重要的理论意义和学术价值。