模糊序及其应用

Order is one of the fundamental structures in mathematics.A satisfactory theory of fuzzy orders on crisp sets has already been established making use of fuzzy relations between crisp sets. Fuzzy orders on (crisp) sets have played an important role in applications and theoretic developments of fuzzy sets. But, due to the complexity of fuzzy sets, the investigation of order structures on fuzzy sets is still at the beginning steps. The aim of this project is to establish a theory of orders on fuzzy sets by treating ordered fuzzy sets as categories enriched in a quantaloid, and apply this theory to the study of fuzzy topology, formal concept analysis, rough set theory based on fuzzy sets. The accomplishment of this project will deepen our understanding of the mathematics of fuzzy sets and the intrinsic relationship between fuzzy sets and other mathematical entities, making a contribution to the study of mathematics of fuzzy sets.

序是最基本的数学结构之一。利用分明集上的模糊关系，人们已经建立了较为完善的分明集上的模糊序理论。模糊序在模糊集的理论和应用研究中都有十分重要的应用。但是，由于模糊集结构的复杂性，模糊集上模糊序的研究没有取得满意的进展，仍处于起步阶段。本项目旨在利用范畴论方法对模糊集上的序结构进行深入研究，建立系统的模糊集上的序结构理论，并把它应用到模糊集上的模糊拓扑、模糊形式概念分析、模糊粗糙集的研究之中。本项目的完成将深化我们对模糊集的数学结构以及它与其它数学分支之间的内在联系的认识，为模糊集的数学研究的发展做出贡献。

本项目从强化范畴的角度对模糊序以及它在approach空间，多值拓扑空间等数学理论中的应用展开了研究。所获结果反映了模糊序，模糊拓扑的性质与真值表的逻辑结构之间的深刻联系，这种联系是模糊集数学理论的重要特点和重要组成部分，也是本项目的特色。.(1) 深入研究了Q-范畴的性质。首先，证明了完备的Q-范畴，完全分配的Q-范畴和Q-幂集分别是集合范畴的某切片范畴上三个monad 的Eilenberg-Moore代数。其次，在Q-分配子之间引入了两类自然的态射：Chu联络与反对角线，并证明了由完备Q-范畴和左伴函子构成的范畴对偶等价于由Q-分配子和反对角线构成的范畴。.(2) 研究了模糊序的定向完备性。首先，证明了若真值表是单位闭区间赋予一个左连续三角模，则Yoneda完备的模糊偏序集(fuzzy ordered sets)和Yoneda连续映射构成的范畴monoidal闭当且仅当所涉三角模连续；笛卡尔闭当且仅当所涉三角模是取小模。其次，证明了对任意连续三角模，序模糊集(ordered fuzzy sets)的flat完备性蕴涵Yoneda完备性，反过来的蕴涵成立当且仅当所涉三角模是阿基米德三角模。.(3) 证明了一个广义度量空间 X 生成的approach空间是sober空间当且仅当 X 是Smyth完备的广义度量空间，解决了approach空间理论中的一个基本问题。.(4) 把模糊序应用到了模糊拓扑的研究之中。首先，利用模糊集之间的模糊包含序引入了CNS空间(conical neighborhood space)的概念，解决了模糊拓扑中由分明点的邻域系确定拓扑结构这一基本问题。其次，引入了不可约模糊下集的概念，在此基础上研究了多值余拓扑空间的sober性。.(5) 给出了对称差算子的结构描述，并由此得到了两个函数方程满足一定条件的全部解，从而部分解决了Alsina, Frank, Schweizer等2003年提出的一个公开问题。