自入射代数、McKay箭图及相关课题

It follows from the BGG correspondence and the theory of the derived category of finite-dimensional algebra that we have equivalences among the bounded derived category of the coherent sheaves of a projective space, the stable category of finite generated graded modules of a self-injective algebra and the bounded derived category of the finite generated modules of an algebra of finite global dimension. This project continues our research inspired by these equivalences, on the coverings and truncations of self-injective algebras, the structures of McKay quivers as well as the twisted trivial extensions of self-injective algebras and generalized twisted central extension of Artin-Schelter algebras accompanying to the appearance of the returning arrows. We are going to study the structures, the representations and the homologies of the related algebras, especially graded self-injective algebras of finite complexity and its τ-slice algebras induced recently by us. We are trying to prove our conjecture on the returning arrows: that the representation dimension of the trivial extension of a graded self-injective algebra increases by 1; We'll generalize our characterization of the n-representation finite absolute n-complete algebra to characterized Iyama's n-representation finite n-complete algebra, by using the truncation of the covering and returning arrows of McKay quivers. We 'll characterize the n-APR tilting for theτ-slice algebras, and study other tilting such as cluster tilting of such algebras. By investigating the case related by the returning arrows, we are trying to find some invariant similar to the dimensional vector for the τ-slice algebra related to the McKay quivers of finite subgroup of the special linear group in dimension 3, trying to define the root system and general the Kac's theorem for the McKay 3-quiver. We are also going to study simply connectedness for τ-slice algebras and other algebras and find a way to calculate the Hochschild (co)homology for the related algebras.

BGG对应和有限维代数导出范畴理论指出簇的凝聚层有界导出范畴、某个自入射代数的有限生成分次稳定范畴和有限整体维数代数的导出范畴三角等价。本项目继续我们在这些等价激发的关于自入射代数的截断、McKay箭图的结构以及与回头箭向相关的自入射代数和Artin-Schelter代数的扩张结构，研究相关代数的结构、表示及其同调问题，特别是与高维表示相关的问题的研究。我们将研究与回头箭向相联系的代数的扩张并在一定条件下证明自入射代数平凡扩张表示维数升高1；并将对一些与McKay箭图相关的一些代数研究下面的问题及其推广：用McKay箭图的覆盖和回头箭向的截断刻画Iyama的n-表示有限代数；推广倾斜代数理论，刻画自入射代数的截断（τ-slice代数）的n-APR倾斜及其它倾斜理论；对某些高维McKay箭图推广建立根系和Kac定理；研究单连通代数Hochschild（上）同调的关系及其计算。

BGG对应建立了有凝聚层导出范畴与自入射代数稳定范畴的三角等价，通过倾斜理论，这往往亦等价于一个有限整体维数的有限维代数的导出范畴。近年代数表示论高维理论和非交换代数几何的发展进一步揭示这一等价的本质，特别是高维表示理论提供了一批与其非交换版本导出等价有限维代数。近年在cluster代数和代数表示论高维理论研究中，及我们在McKay箭图研究中，我们观察到回头箭向的现象，发现其出现往往伴随代数的扩张及某种“维数”的增加。通过Koszul对偶，这一现象也与Artin-Schelter代数扩张构造相联系。. 本项目在此背景之下研究非交换BGG对应相关中的自入射代数、有限整体维数的有限维代数及其与McKay箭图、高维表示的联系。我们主要从n-平移代数、与Mckay箭图及回头箭向相关问题和一些代数结构的局部化、同调性质几个方面进行研究，主要取得了如下成果。. 通过引入n-平移箭图和n-平移代数，推广了经典的ZQ箭图的构造并建立其与平凡扩张、冲积构造的关系。通过二次对偶建立了n平移代数Koszul复型与n-几乎可裂序列的联系。应用n-平移代数，引入n-立方金字塔代数，并用其实现了Iyama绝对n完全代数的锥构造。建立了τ-slice代数τ-mutation与n-APR倾斜的联系。最近我们还发现n-平移代数扩张的τ-slice代数与n-Fanoo代数也有着密切联系。给出了一些与回头箭向、McKay箭图相关的扩张如平凡扩张和斜群代数的表示维数、复杂度。并将绝对n-完全代数与Abel群McKay箭图的关系部分推广到n-完全代数。还给出n-阿贝尔范畴的同调代数。给出了内射Hom-模的Baer准则，证明了HomMod是一个Abelian范畴；确定了Morita-Takeuchi余代数上所有Gorenstein内射余模及Gorenstein余代数的局部化。证明了极小无限表示型代数的单连通性的等价于其一阶Hochschild上同调群为零，部分地解决了Skowronski的一个猜想。. 我们的研究推进了代数表示论及相关领域研究的发展，特别是n-平移代数和回头箭向、McKay箭图的相关研究，深化了代数表示论高维表示理论及其与非交换代数几何联系的认识，对于代数表示论及其高维表示理论的发展和代数表示论在非交换代数几何和其他领域的应用，有着重要的意义。