McKay箭图，有限复杂度自入射代数及相关课题

本项目研究主要内容是McKay箭图的构造、性质及有限复杂度Koszul自入射代数及其表示刻划和分类及其应用，我们的长远目标是是将代数表示论中tame代数相应的理论推广到有限复杂度Koszul自入射代数。我们将在特征零代数闭域，集中研究以下几个问题：McKay箭图的覆盖性质和其他性质；外代数及低维外代数上斜群代数的分次模和分次模范畴的刻画；Beilinson箭图及其自然定义的代数及其tilting模，其导出范畴、凝聚层导出范畴与外代数上斜群代数分次模稳定范畴关系；这些代数的Hochschild同调与上同调群以及这些研究在McKay对应及相关问题的应用。

本世纪以来，cluster代数的研究为代数表示论注入新的活力，cluster代数、 Cluster范畴、cluster倾斜子范畴的概念的引入，直接也推进了高维表示理论的发展。Iyama等人推广、引入一系列新的概念，对高维表示理论进行了深入研究。我们一直认为有限复杂度自入射代数和McKay箭图，具有高维表示的特征，特别 对于代数表示论tame理论的推广和发展有着重要的意义。我们从McKay箭图构造和有限复杂度Koszul自入射代数研究入手，发现自入射代数与高维表示的密切联系，特别是较为深入探讨了回头箭向和覆盖构造及其与高维表示的联系。. McKay箭图是一类非常重要的箭图，它将代数表示论与代数几何、数学物理和李表示理论等数学领域联系起来。 其本身研究，不仅对群表示理论非常重要，也将促进代数表示论的发展。我们近年研究发现McKay箭图构造中的“回头箭向”和覆盖构造，并指出这些现象与代数表示论、特别是高维AR理论、cluster代数及cluster倾斜理论有着密切的联系。本项研究进一步深化和发展了这种联系，而且进一步揭示了其本质及其在 代数表示理论的意义。. 本项目研究在下面几个方面取得较大的进展。自入射代数在我们研究中自入射代数有着独特的意义，我们通过覆盖和截断研究了它与代数表示论其他经典的代数的关系，这种关系对高维表示理论和导出范畴研究都具有特别的意义。而其中McKay箭图，提供了具体的范例和理论的模型，通过截断我们发现了我们的“回头箭向”和覆盖的构造与Iyama的$n$-完全代数的锥构造的联系。我们还将“回头箭向”和覆盖的构造推广到一般自入射代数，并发现它在Artin-Schelter代数的应用及对于研究表示维数的意义。