复合材料中的椭圆和抛物方程

研究复合材料中填充物之间的电场是否可以任意大，对应于一类具有不连续主部系数的散度型椭圆方程和抛物方程的梯度估计。近十年来，与之相关的理论研究和数值分析已经或正在成为国际数学界的热点。.项目组将在申请人和主要成员已有工作的基础上，充分地利用国际合作的有利条件，综合地运用偏微分方程的基本理论，特别是调和分析方法、复分析方法、能量方法、数值方法等手段，建立该类椭圆方程解的最优梯度估计（明显依赖方程的椭圆系数或填充物之间的距离），研究解的高阶导数估计，并将上述估计扩展到相应的抛物问题。在此基础上完成向更一般偏微分方程（组）的各种推广。

本项目组在来自复合材料的一类具有不连续系数的散度型椭圆方程和方程组解的梯度估计、Hessian方程外问题解的存在性和渐近性以及平均曲率流方程解的渐近性等方面取得一系列重要进展，在《Calc. Var. Partial Differential Equations》、《J. Funct. Anal.》、《Commun. Contemp. Math.》、《J. Differential Equations》等高水平国际SCI期刊发表论文31篇，被《Trans. Amer. Math. Soc.》接受发表1篇，另外已完成并投稿论文5篇，顺利完成了研究计划。.（a）保继光与熊金钢合作研究了来自渗流问题的带有分片系数的散度型椭圆方程组，利用Campanato-John-Nirenberg 空间，将BMO空间， Dini空间和 Hölder空间的估计统一起来，建立了这类带有分片系数方程组解的最优正则性。（b）受复合材料问题中方程系数往往是分片光滑的这一主要特点的影响，李海刚和王长友合作将这一特点推广到了调和映照问题，他们研究了上下半球的度量分别Hölder连续的单位球 上的稳态调和映照的部分正则性。（c）李海刚与李岩岩等人合作建立了在区域上椭圆方程组解的梯度估计，证明了解的梯度关于子区域之间距离的一致有界性和关于到中心距离的指数衰减性。（d）最近，保继光与李海刚、李岩岩合作解决了带有部分无穷系数的二维Lamé方程组的梯度估计问题，建立方程组解的梯度大小与子区域之间距离\epsilon的依赖性，并且得到其爆破速度就是\epsilon^{-1/2} ，这与已知的方程情形的最佳估计是一致的。