弹性复合材料中偏微分方程组的研究

With the increasingly widespread application of composite materials in national economy, the research on the mathematical theory for composite materials has become an international hot issues in the field of partial differential equations. The improvement of core technology in elastic composite is closely related to the nature of a class of elliptic systems of partial differential equations. The main features of such systems is that their coefficients is no longer globally continuous, but merely piecewise constant (or continuous). This poses a challenge to the classical regularity theory of partial differential systems. This project will be dedicated to investigating the blow-up rate of the gradient of the solution to the perfectly elasticity systems when the ratio of modulus of elasticity of inclusions and matrix is infinite, establishing the optimal gradient estimates when that ratio is finite, to accurately illustrate the stress dependence on the modulus of elasticity of the inclusions and the distance between inclusions, improve the damage and failure mechanisms of composite theory, and provide a solid theoretical foundation for materials sciences. Meanwhile, the project team will study the Calderón problem with partial data to recover the coefficients of the linear elasticity systems from some measurement made on certain subsets of the boundary, which is an important open problem in the field of inverse problems. In addition, the Eshelby conjecture for elasticity in dimension three space is a subject of this project. Based on the project team's existing work on composite materials, some important breakthrough will be achieved in the study of the above problem.

随着复合材料在国民经济中的应用日益广泛，有关复合材料数学理论的研究已经成为偏微分方程领域的一个国际热点问题。弹性复合材料核心技术的改进与一类椭圆偏微分方程组的性质息息相关。这类方程组的主要特点是其主部系数不再具有整体连续性，而仅仅是分片常数(或连续)的。它对经典的偏微分方程组的正则性理论提出了挑战。 本项目将致力于研究内含物弹性系数为无穷的超弹力方程组解的梯度爆破速度，建立内含物弹性系数有限的方程组解的最佳梯度估计，精确刻画材料应力大小与内含物弹性和间距之间的依赖关系，完善复合材料的破坏与失效机制理论，为材料科学提供坚实的理论基础。 同时，项目组将研究通过边界的部分信息来复原线性弹力方程组系数的Calderón问题，这是反问题领域的一个重要公开问题。另外，与之相关的三维Eshelby猜想也是本项目的一个研究内容。基于已有工作基础，项目组将在以上问题研究中取得突破性进展。

本项目组研究和讨论了弹性复合材料中一类带有部分无穷系数Lame方程组解的梯度的最佳上界和下界估计、对内含物系数为0或无穷的Eshelby猜想、一般的椭圆型和抛物型 Monge-Ampere 方程的解在无穷远点渐近行为的分类、 具有一般的无穷远渐近性的Hessian方程外问题解的存在性。一系列重要的结果在高水平国际SCI期刊《Adv. Math.》、《Arch. Ration. Mech. Anal.》、 《Trans. Amer. Math. Soc. 》、《J. Differential. Equations》、《Nonlinear Anal.》、 《Quart. Appl. Math.》等发表。共发表论文18 篇，顺利完成了研究计划。.主要研究成果有：（a）保继光、李海刚和李岩岩合作率先建立了带有部分无穷系数Lame方程组解的梯度的最佳上界和下界估计，回答了Babuska问题，精确刻画了材料应力大小与内含物间距之间的依赖关系，完善了复合材料的破坏与失效机制理论。（b）王博，李海刚和保继光合作研究了无穷的Eshelby猜想， 不仅完全解决了二维Eshelby猜想的极限情形，而且也给出三维Eshelby猜想的一个充分必要条件。（c）在解的渐近表示工作方面，保继光、李海刚和李岩岩不仅彻底解决了具有一般的无穷远渐近性的Hessian 方程外问题解的存在性，而且将其推广到Hessian商方程， special Lagrangian方程（极小梯度图方程）。另外，保继光、李海刚和张雷一起合作对一般的椭圆型和抛物型 Monge-Ampere 方程的解在无穷远点渐近行为进行了分类。