几何、物理中的椭圆抛物方程

We shall study the problem of prescribing scalar curvature on the standard sphere. It is typical since there are some related geometric problems, corresponding different equations but having similar difficulties hidden behind in analysis and topology. We shall also study the resonance equations with the Projective Dirichlet boundary condition, which is given by us and is shown to be well-posed recently. We shall study the Fokker-Planck equations and its stationary equations which come from the stochastic differential equations, particularly study the existence, the compactness, and the convergent behavior as the diffusion coefficients approach to zero. Not only this is helpful for the study of diffusion processes of the stochastic differential equations, but also is the foundation for studying the stochastic stability of the invariant measures (and invariant sets) of the ordinary differential systems.

本项目研究球面上数曲率的共形实现，这是一个典型的几何问题，一些与之相关其它问题，虽然所对应的方程是不同的但背后却隐藏着共通的分析和拓扑上的困难；研究具有强烈几何与物理背景的共振方程及其Projective Dirichlet边值问题，这是申请人最近提出的被证明是适定的一个新的边界条件（而众所周知Dirichlet条件对共振方程是不适定的）；研究来自随机微分方程的Fokker-Planck方程及其稳态方程解的存在性，特别是当扩散系数趋于0时解的紧性和收敛性质，这不仅可以了解相应随机微分方程的随机扩散过程，而且是研究常微方程组不变测度（及不变集）随机稳定性十分关键的基础。

本项目主要研究了来自随机微分方程的Fokker-Planck方程，以及一类退化椭圆方程解的分类。在JFA等杂志发表文章6篇(其中一篇为接受)。. 一．常微分方程加上噪音扰动，即得到一个Ito型随机微分方程，而随机微分方程的解之概率分布的研究则归结为相应的Fokker-Planck方程。我们研究了具有弱正则性系数的Fokker-Planck方程，主要在下面三方面取得进展。.（1）稳态解的研究：在之前对Fokker-Planck方程稳态解的研究基础上，我们进一步研究了当噪音扰动趋于0时稳态解的紧性和集中性态，由此获得了关于常微方程不变集及不变测度的随机稳定性（和不稳定性）结果。.（2）整体概率解的研究：关于Fokker-Planck方程整体概率解的存在性，唯一性，以及长时间解的极限行为，我们通过建立更加精细的先验估计，在边界附近的Lyapunov-like条件下，证明了解的存在唯一性；在Lyapunov条件下，证明了当时间趋于无穷大时任何整体解都收敛到其唯一的稳态解。.（3）周期问题的研究：对于系数为时间周期的Fokker-Planck方程，弱正则系数是一个公认的难点。其实，对周期问题，即使在方程系数具有良好的正则性情形，也只有有限的关于周期概率解存在性的零散结果，而关于周期概率解的唯一性、整体解长时间渐近稳定性，以及噪音系数消失时周期解的极限形态等问题，其结果几乎空白。 我们在系数仅具有弱正则性的情形，不仅对非退化和退化方程，均建立了关于周期概率解的系统的存在性结果，并且对周期概率解的唯一性、噪音系数消失时的极限形态，以及整体解的长时间渐近稳定性等三大类问题，均得到了系统的结果。. 二．研究了上半空间与一类退化椭圆算子相关的齐次方程和临界指数方程。对齐次方程的各种边值问题，证明了Liouville定理；对临界指数方程，证明了正解的对称性、唯一性，并且在某些特殊情形给出了解的清晰表达。前者可以更好地理解延拓问题（例如分式拉普拉斯算子的延拓）中的卷积核，后者导出加权Sobolev不等式中的最佳常数。