Teichmuller空间理论中的若干问题及其应用

The research project is concerned with the Teichmuller space theory and its applications. By studying the convexity of spheres, the geodesic curvature of the Bers line and the quasi-isometric property between the Weil-Petersson geodesic and the corresponding quasi-Fuchsian manifold, we hope to find some fundamental geometric properties of finite dimensional Teichmuller spaces under the Teichmuller-Kobayashi metric and the Weil-Petersson metric and apply them to the studying of hyperbolic manifolds; by studying the circle packings and the intersection theory, we will explore the applications of Teichmuller space theory to the moduli space, combinatory geometry and mathematical physics; by studying the biholomorphic automorphisms of Bers fiber spaces for Fuchsian groups with elliptic elements and Bers' isomorphism problem, we hope to introduce a new approach to the studying of general fiber spaces over Teichmuller spaces; we explore further the geometrical and topological properties of some basic subspaces in the universal Teichmuller space and their applications to some problems in classical analysis. Through this project, we hope to obtain some important and original results in these areas.

本项目将探讨Teichmuller空间理论及其应用。通过对有限维Teichmuller空间中球面的凸性、Bers射线的Weil-Petersson测地曲率、Weil-Petersson测地线和对应拟Fuchs双曲流形内部的拟等距性等问题的研究，探讨Teichmuller空间在Teichmuller度量和Weil-Petersson度量下的几何性质并应用于双曲流形的研究；通过对圆堆积和相交数的讨论探讨Teichmuller空间理论在模空间、组合几何和数学物理等学科分支的交叉问题中的应用；通过对Bers纤维空间自同构群和Bers同构问题的研究来找到Teichmuller空间上一般纤维空间的研究方法；进一步探讨万有Teichmuller空间中一些有重要应用背景的子空间的拓扑几何性质及其在经典分析中的应用。我们期望得到一些原创性的成果和方法，推动国内在Teichmuller空间理论研究方面的发展。

本项目主要探讨Teichmuller空间理论及其应用。利用分式Sobolev空间理论给出了 Weil-Petersson 拟对称同胚的完全刻画。 作为应用，证明了一个Weil-Petersson拟对称同胚不一定具有Sobolev类H^(3/2)性质，并证明了H^(3/2)向量场的流依然属于Weil-Petersson Teichmuller空间，并且在Weil-Petersson Teichmuller空间的Hilbert流形结构下是连续可微的。证明了Weil-Petersson Teichmuller空间所对应的拟圆周的弧长参数的导数幅角对应于Sobolev空间H^(1/2)的一个可缩开集。这从几何上给出了Weil-Petersson Teichmuller空间（所对应的拟圆周）的一个新的实解析流形结构。该实解析流形结构和Weil-Petersson Teichmuller空间上经典的复流形结构是拓扑等价的。在有限维Teichmuller空间中引入了两条 Teichmuller 测地线之间角度的概念，并给出了一个判别它们的夹角是否存在的条件及计算公式，从而说明了Teichmuller空间在Teichmuller度量下不是CAT(k) 空间。证明了对紧黎曼曲面上的任意全纯微分，至多除去有限个点，所有的正则点都有简单闭测地线经过；对于超椭圆的全纯微分，上述的有限点集是空集。证明了极值长度函数在 Teichmuller 空间是多重次调和的(即在复的意义下是凸的)。在证明中，首次将调和映照应用到极值长度二阶导数的计算中。 这为极值长度的研究提供了一个新的方法。系统研究了带边曲面上带钝角的圆堆积，刻画了曲率映射的像集，发展了相关的组合Ricci流理论。研究中建立的几个技术性引理部分解决了Chow-Luo提出的公开问题。研究了理想圆堆积的Ricci流理论，这给出了Rivin定理以及Bobenko-Spingborn定理具体的计算方法。应用拓扑度理论， 进一步推广了Koebe-Andreev-Thursdon定理的存在性部分。