拟共形Teichmuller理论中的若干问题

The geodesic geometry of Teichmuller metric will be studied in this project, especially the following basically unsolved problems: the uniqueness of geodesic in asymptotic Teichmuller space, the closed property of geodesics in the small Teichmuller space T_0, the convexity of spheres in a finite-dimensional Teichmuller space, the boundary properties of finite-dimensional Teichmuller spaces and the Schottky space, and the problem of common Hamilton sequences. Any substantive progress on these issues is of great academic importance to Teichmuller theory.

本项目主要研究Teichmuller度量的测地几何，包括渐近Teichmuller空间中测地线的唯一性、小Teichmuller空间T_0的测地闭性、有限维Teichmuller空间的球面凸性、有限维Teichmuller空间的边界性态和Schottky空间的紧化、公共Hamilton序列问题等一些尚未解决的基本问题。这些问题的任何实质性进展都对Teichmuller空间理论都具有重要的学术意义。

Teichmuller空间的度量几何、有限维Teichmuller空间的紧化与边界性态是Teichmuller理论的重要研究内容，并与其他核心数学分支密切相关。本项目主要研究了渐近Teichmuller空间测地线的唯一性问题、小Teichmuller空间的测地闭问题，极值Beltrami微分的公共Hamilton问题、Teichmuller空间的子空间，以及有限维Teichmuller空间各种紧化的边界性态。尽管在唯一性问题、测地闭问题和公共Halmiton问题进展缓慢，但在Teichmuller的子空间和有限维Teichmuller空间各种紧化的边界性态等方面（特别是后者），我们取得了一系列成果，如证明了有限非分歧覆盖诱导的Teichmuller空间之间的等距嵌入可以等距延拓到Teichmuller的Abikoff紧化的边界上和horofunction紧化边界的Busemann子集上；万有可共度化模群在万有可公度Teichmuller空间中的作用可以等距地延拓到万有可公度Abikoff紧化Teichmuller空间上，且万有可公度Teichmuller空间里的任意点在万有可共度化模群的作用下的轨道在万有可公度Abikoff紧化Teichmuller空间里是稠密的；我们还将这些成果推广至万有可公度Busemann horofunction 紧化Teichmuller空间; 我们得到了一般有理Lamination诱导的嫁接映射在模空间中投影的EAEDM性质，并利用复地震（Complex Earthquake）在模空间中的投影，构造了一个与模空间的Deligne-Mumford紧化同胚的新空间，限制在每一层上该同胚是等距的等等。